SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK Materi Pokok 21 SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK Perluasan Teknik Transformasi Bila h(x1, x2, …, xn) merupakan fungsi kepekatan gabungan vektor peubah acak X1, X2, …, Xn A, dan bentuk transformasi Y1 = u1 (x1, x2, …, xn) Y2 = u2 (x1, x2, …, xn) Yn = un (x1, x2, …, xn) maka fungsi kepekatan gabungan vektor peubah acak Y1, Y2, …, Yn adalah g(y1, y2, …, yn) = |J| h[w,(y1, y2, …, yn), …, wn (y1, y2, …, yn)] bila (y1, y2, …, yn)B dan g(y1, y2, …, yn) = 0 untuk nilai (y1, y2, …, yn) anggota himpunan lain.

Pada proses transformasi ini melibatkan bentuk integral lipat n: Ambil peubah acak y1 = u1 (x1, x2, …, xn) dengan invers x1 = 1 (y1, y2, …, yn) y2 = u2 (x1, x2, …, xn) dengan invers x2 = 2 (y1, y2, …, yn) • yn = un (x1, x2, …, xn) dengan invers xn = n (y1, y2, …, yn)

Merupakan bentuk transformasi satu-satu yang memetakan A ke B dalam ruang y1, y2, …, yn dan determinan Jacob; berdimensi n x n :

Contoh Misalkan X1, X2, …, Xk+1 merupakan peubah acak bebas stokastik dan masing-masing menyebar gamma dengan  = 1 maka fungsi kepekatan peluang gabungannya adalah sehingga Yi menunjukka k + 1 peubah acak baru peta transformasi A = {X1, X2, …, Xk+1} = 0 < X1 <  i = 1, …., k + 1 ke dalam ruang

B = {(y1, …, yk, yk+1): 0 < yi, i = 1, 2, …, k, y1 + y2 +…+ yk < 1, Nilai inversnya : x1 = y1 yk+1 x2 = y2 yk+1 ….. xk= yk yk+1 xk+1 = yk+1(1-y1, -···-yk) sehingga determinan Jacobi menjadi:

Akibatnya fungsi kepekatan peluang bagi Y1, …, Yk, Yk+1 menjadi Dan fungsi kepekatan peluang bagi y1, …, yk adalah g (y1, …, yk) ketika 0 < yi, i = 1, ….., k; y1 + y2 + …. + yk < 1 merupakan fungsi kepekatan peluang sebaran dirichlet dan untuk k = 1 fungsi itu menjadi f kepekatan peluang .

Ambil h(x1, x2, …, xn) sebagai fungsi kepekatan gabungan X1, X2, …, Xn suatu peubah acak kontinu. A:himpunan dalam ruang berdimensi n dimana h(x1, x2, …, xn) > 0 dan dengan transformasi y1 = u1(x1, x2, …, xn), y2 = u2(x1, x2, …, xn), …………………….. yn = un(x1, x2, …, xn) yang merupakan hubungan pemetaan dari A ke B di dalam y1, y2, …, yn setiap titik di A mempunyai hubungan satu titik di B, tetapi satu titik di B mungkin mempunyai hubungan lebih dari satu titik di A, jadi bukan hubungan satu-satu. Kita dapat memandangan himpunan A sebagai partisi A1, A2, …, Ak sehingga

x1 = 1 (y1, y2, …., yn) x2 = 2 (y1, y2, …., yn) : xn = ni (y1, y2, …., yn) dengan i = 1, 2, ….., k dan matriks Jacobinya

Fungsi kepekatan gabungan