Pertemuan IV: 4.1 INVERS MATRIKS DENGAN RELASI SMW TEKNIK KOMPUTASI Pertemuan IV: 4.1 INVERS MATRIKS DENGAN RELASI SMW

Relasi SMW bergung ntuk mencari invers sebuah matrix. Sherman, Morrison dan Woodburry secara terpisah telah menemukan relasi sebagai berikut : Perhatikan, bahwa real Terapannya: Ada dua matrix A dan B, dengan B hanya berbeda dari A sebesar saja, yaitu

Menurut SMW, jika A telah diketahui inversnya, invers B dapat dihitung dengan melakukan koreksi dari invers A. Atas dasar kenyataan itu, invers sembarang matrix Z (jika invers itu ada) dapat ditetapkan dengan penerapan berulang-ulang relasi SMW, bertolak dari fakta awal, misalnya, bahwa invers dari matrix satuan adalah matrix satuan juga. Ilustrasi : Sekarang ingin ditetapkan invers dari matrix G,

disini A = H-1 dan u = v = e1 dalam relasi SMW. Jadi, karena : Tampaklah bahwa matrix G berbeda dari hanya pada elemen pada pojok kiri atas dari H-1 karena : disini A = H-1 dan u = v = e1 dalam relasi SMW. Jadi, karena : UT =[1 0 0 0 ]T VT =[1 0 0 0 ]T

3.5. Relasi SMW (Sherman-Morrison-Woodburry) (4) Maka :

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (1) Pada umumnya, beban komputasi adalah cacah operasi perkalian atau pembagian atas dua nilai skalar yang diperlukan agar seluruh operasi komputasi terselesaikan. Satuan yang dipakai adalah flop (Floating Point Operation). Dalam pengertian ini, operasi perkalian skalar atas dua vektor u, adalah n flop, tanpa mempertimbangkan kemungkinan adanya nilai nol diantara elemen-elemen dalam kedua vektor itu. Atas dasar itu beban komputasi atas perkalian matrix dengan vektor adalah n2 flop.

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (2) Jika kenyataan itu diterapkan pada rumus SMW, maka: Beban komputasi untuk menghitung adalah n2 flop untuk , dan n flop untuk ; total (n2 + n) flop. Beban komputasi untuk adalah 3n2 flop. Maka beban komputsi untuk operasi SMW adalah : (4n2 + n +1) flop. Misalkan operasi SMW dilakukan atas dasar faktor bahwa invers matrix satuan adalah matrix satuan juga. Maka matrix berdimensi n x n harus dilakukan n buah operasi SMW. Oleh karena itu beban komputasi untuk menetapkan invers dengan relasi SMW adalah (n)(4n2 + n +1) = (4n3 + n2 + n) flop.

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (3) Contoh Terapan Relasi SMW Contoh (1) : Mencari Invers Matrix Sembarang secara Iteratif . Jawab : Langkah Awal A-1 = ?

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (3) 1

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (4)

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (5) 2

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (6)

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (7)

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (8)

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (9)

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (10) AA-1 = I  QED

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (11) Contoh ( 2 ) Apabila : B-1 = ? Dari hitungan contoh (1) diatas, diketahui bahwa :

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (12)

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (13)

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (14) Contoh ( 3 ) Dengan hanya menggunakan satu langkah relasi SMW , carilah invers matrix dari : Jawab: Untuk dapat menggunakan metode SMW, kita harus mempunyai sebuah matrix yang sudah diketahui inversnya. Matrix tersebut diusahakan mempunyai elemen yang hampir sama dengan matrix yang akan kita cari inversnya. Untuk itu kita devinisikan suatu matrix B, di mana :

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (15) Kita definisikan vektor u dan vektor v1 sehingga berlaku hubungan A = B + uv’ : sehingga : atau atau

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (16) Karena matrix B merupakan matrix gauss, kita dapat mencari invers dari matrix B dengan mudah, didapat : Sehingga :

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (17) maka :

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (18) Contoh (4) Diketahui matrix : Buatlah inversnya dengan hanya manggunakan SMW 1 langkah! Jawab : H = A + u vT

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (19) Untuk mencari A-1, maka A . A-1 = I a = 1 b = 0 c = 0 d = 0 2a + 2e = 0  e = −a = −1 2b + 2f = 1  f = 1/2 2c + 2g = 0  g = 0 2d + 2h = 0  h = 0 3a + 3i = 0 i = −a = −1 3b + 3j = 0 j = −b = 0 3d + 3k = 1 k = 1/3 3d + 3l = 0 l = 0 4a + 4m = 0  m = −a = −1 4b + 4n = 0 n = 0 4c + 4o = 0 o = 0 4d + 4p = 0  p = 1/4

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (20) Jadi : Untuk mencari β: β = 1 + vT A-1 u β= -3

3.6. Beban komputasi menghitung invers matrix dengan relasi SMW (21) Untuk mencari H-1 , maka: Terbukti bahwa : H . H-1 = I