BAB 7 ALJABAR BOOLEAN

DEFINISI ALJABAR BOOLEAN Misalkan B adalah himpunan yg didefinisikan pada dua operator biner  dan  dan sebuah operator uner  dan misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yg berbeda dari B. Maka tupel (B, +, . , ‘ ) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma atau postulat berikut.

Identitas ( i ) a + 0 = a ( ii ) a  1 = a Komutatif ( i ) a + b = b + a ( ii ) a  b = b  a Distributif ( i ) a (b + c) = (a  b) + (a  c) ( ii ) a + (b  c) = (a + b) (a + c) Komplemen Untuk setiap a ∈ B terdapat elemen unik a  ∈ B sehingga (i) a + a = 1 (ii) a  a  = 0 Kelima aksioma di atas disebut postulat Huntington.

ALJABAR BOOLEAN DUA-NILAI Aljabar Boolean dua-nilai didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1 (sering dinamakan bit-singkatan dari binary digit), yaitu : B = {0,1}, operator biner + dan  ,serta operator uner 

Kaidah untuk operator biner  ab 1

Kaidah untuk operator biner + a + b 1

Kaidah operator uner  a a 1

EKSPRESI BOOLEAN Pada aljabar Boolean dua nilai B = {0, 1}. Kedua elemen B disebut elemen biner atau bit (singkatan binary bit). Peubah (variable) x disebut peubah Boolean atau peubah biner jika nilainya hanya dari B Ekspresi Boolean dibentuk dari elemen-elemen B dan/atau peubah-peubah yg dpt dikombinasikan satu sama lain dgn operator +,  , dan .

Definisi Ekspresi Boolean : Misalkan (B, +,  ,  ) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, + , . , ‘ ) adalah : Setiap elemen di dalam B, Setiap peubah, Jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2 , e1  e2 , e1 adalah ekspresi Boolean.

Prinsip Dualitas DEFINISI : Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yg melibatkan operator +, , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dgn cara mengganti  dengan + + dengan  0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.

HUKUM-HUKUM ALJABAR BOOLEAN : Kita dpt memperoleh hukum-hukum aljabar Boolean dari hukum-hukum aljabar Himpunan(proposisi) dgn cara mempertukarkan :  dengan + atau ν dengan +  dengan  atau Λ dengan  U dengan 1 atau T dengan 1  dengan 0 atau F dengan 0

FUNGSI BOOLEAN DEFINISI Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai : f : Bn  B Yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yg beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

Penjumlahan dan Perkalian Dua Fungsi Misalkan f dan g adalah dua buah fungsi Boolean dengan n peubah, maka penjumlahan f + g didefinisikan sebagai : (f+g)(x1+ x2+… +xn)= f(x1+ x2+… +xn) + g(x1+ x2+… +xn) Sedangkan perkalian f.g didefinisikan sebagai : (f.g)(x1+ x2+… +xn)= f(x1+ x2+… +xn) g(x1+ x2+… +xn)

Komplemen Fungsi Bila sebuah fungsi dikomplemenkan, maka akan diperoleh fungsi komplemen. Fungsi komplemen berguna pada saat melakukan penyederhanaan fungsi Boolean. Fungsi komplemen dari suatu fungsi f dapat dicari dengan 2 cara, yaitu : Menggunakan Hukum De Morgan. Menggunakan prinsip Dualitas.

BENTUK KANONIK Ada dua macam bentuk term (suku), yaitu minterm (hasil kali) dan maxterm (hasil jumlah) Suku-suku di dlm ekspresi Boolean dgn n peubah x1, x2,…, xn dikatakan minterm jika ia muncul dlm bentuk Dan dikatakan maxterm jika ia muncul dlm bentuk

Ekspresi Boolean yg dinyatakan sbg penjumlahan dari satu atau lebih minterm atau perkalian dari satu atau lebih maxterm disebut dalam Bentuk Kanonik. Ada dua macam bentuk kanonik : Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP), nama lain SOP adalah bentuk normal disjungtif (disjunctive normal form) Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS), nama lain POS adalah bentuk normal konjungtif (conjunctive normal form)

BENTUK BAKU Dua bentuk kanonik adalah bentuk dasar yg diperoleh dgn membaca fungsi dari tabel kebenaran. Cara lain utk mengekspresikan fungsi Boolean adalah bentuk baku (standard). Dua tipe bentuk baku adalah bentuk baku SOP dan bentuk baku POS

APLIKASI ALJABAR BOOLEAN : Aplikasi aljabar boolean pada jaringan pensaklaran (switching network). Aplikasi aljabar boolean pada rangkaian digital elektronik.

PENYEDERHANAAN FUNGSI BOOLEAN Tiga metode yang dapat digunakan utk menyederhanakan fungsi Boolean : Secara aljabar, menggunakan hukum-hukum aljabar Boolean. Metode Peta Karnaugh. Metode Quine-McCluskey (metode tabulasi)

METODE PETA KARNAUGH Peta Karnaugh adalah sebuah diagram/peta yang terbentuk dari kotak-kotak (berbentuk bujursangkar) yg bersisian. Tiap kotak merepresentasikan sebuah minterm. Tiap kotak dikatakan bertetangga jika minterm-minterm yg merepresentasikannya berbeda hanya 1 buah literal. Peta Karnaugh dpt dibentuk dari fungsi Boolean yg dispesifikasikan dgn ekspresi Boolean maupun fungsi yang direpresentasikandgn tabel kebenaran.

PETA KARNAUGH DGN DUA PEUBAH Misalkan dua peubah di dalam fungsi Boolean adalah x dan y. Baris pada peta Karnaugh utk peubah x dan kolom utk peubah y. Baris pertama diidentifikasi nilai 0 (menyatakan x’), sedangkan baris kedua dengan 1 (menyatakan x). Kolom pertama diidentifikasi nilai 0 (menyatakan y’), sedangkan kolom kedua dengan 1 (menyatakan y) x y 0 1 x’y’ x’y xy’ xy

PETA KARNAUGH DGN TIGA PEUBAH Untuk fungsi Boolean dengan 3 peubah (misalkan x, y, z), jumlah kotak di dlm peta Karnaugh meningkat menjadi 23 = 8. Terdiri dari 2 baris dan 4 kolom. Setiap kotak merepresentasikan minterm dari kombinasi baris dan kolom yg bersesuaian. yz x 00 01 11 10 x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’ 1 xy’z’ xy’z xyz xyz'

PETA KARNAUGH DGN 4 PEUBAH Untuk fungsi Boolean dengan 4 peubah ,misalkan w, x, y, z. Jumlah kotak di dlm peta Karnaugh menjadi 24 = 16. Terdiri dari 4 baris dan 4 kolom. Baris pada peta Karnaugh utk peubah wx dan kolom utk peubah yz. yz wx 00 01 11 10 w’x’y’z’ w'x’y’z w'x’yz wx’y’z’ w’xy’z’ w’xy’z w’xyz w’xyz’ wxy'z’ wxy'z wxyz wxyz' wx'y’z’ wx'y’z wx'yz wx'yz’