HAMPIRAN NUMERIK FUNGSI INTERPOLASI

Tegangan yg diberikan,x,kg/mm2 Pendahuluan Engineer bekerja dengan sejumlah data diskrit (biasanya disajikan dalam bentuk tabel) yang diperoleh dari hasil pengamatan lapangan atau laboratorium. Contoh: Masalah yang muncul : ingin mengetahui waktu patahan y jika diberi tegangan x sebesar 12 kg/mm2 pada baja Solusi: mencari fungsi yang dengan mencocokkan titik-titik data dalam tabel ( pencocokan kurva) Tegangan yg diberikan,x,kg/mm2 5 10 15 20 25 30 35 40 Waktu patah, y, jam 18 22

Pendahuluan Pencocokan kurva untuk mencari nilai fungsi menghitung nilai turunan Contoh: Diketahui fungsi Hitung turunan fungsi di atas jika x = a  f’(a) = ? SULIT??? Pendekatan dilakukan dengan menyederhanakan fungsi f(x) menjadi polinom pn(x) yang berderajat ≤ n

Interpolasi Jika data memiliki ketelitian tinggi, kurva dibuat melalui setiap titik  menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi

Interpolasi Linier adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus misal titik (x0, y0) dan (x1, y1) Polinom yg terbentuk  persamaan garis lurus y x (x0,y0) (x1,y1)

Interpolasi Linier Contoh : Taksirlah logaritma natural dari 2 (ln 2) dengan memakai interpolasi linear antara ln 1 = 0 dan ln 6 = 1.7919595, dimana nilai sejati ln 2 = 0.69314718. Penyelesaian :

Interpolasi Kuadratik Misal dipergunakan tiga titik data (x0,y0), (x!,y1), (x2,y2) Polinom yg menginterpolasi  polinom kuadrat p2(x) = a0 + a1x + a2x2 …………(1) Polinom p2(x) ditentukan dengan: substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1)  diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x02 = y0 a0 + a1x1 + a2x12 = y1 a0 + a1x2 + a2x22 = y2 hitung a0,a1,a2 dari sistem persamaan di atas dengan metode eliminasi Gauss

Interpolasi Kuadratik Polinom p2(x) ditentukan dengan: substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1)  diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x02 = y0 a0 + a1x1 + a2x12 = y1 a0 + a1x2 + a2x22 = y2 hitung a0,a1,a2 dari sistem persamaan di atas dengan metode eliminasi Gauss Substitusikan denga persamaan p2(x)

Interpolasi Kuadratik Contoh: Diberikan titik In(8,0)=2,0794, In(9,0)=2,1972, dan In(9,5)=2,2513. Tentukan nilai In(9,2)! PENYELESAIAN SPL yang terbentuk: a0 + 8,0a0 + 64,00a2 = 2,0794 a0 + 9,0a1 + 81,00a2 = 2,1972 a0 + 9,5a1 + 90,25a2 = 2,2513 Eliminasi Gauss 

Interpolasi Kuadratik PENYELESAIAN Eliminasi Gauss  Diperoleh: 0,57a2 = -0,0048  a2 = -0,0064 1,0a1 + 17,00a1 = 0,1178 1,0a1 + 17,00(-0,0064) = 0,1178  a1 = 0,2266 a0 + 8,0a1 + 64,00a2 = 2,0794 a0 + 8,0(0,2266) + 64,00(-0,0064) = 2,0794  a0 = 0,6762 Substitusi ke persamaan polinom p2(x) = 0,6762 + 0,2266x1 – 0,0064x2 sehingga p2(9,2) = 0,6762 + 0,2266(9,2) – 0,0064(9,2)2 = 2,2192

Interpolasi Kubik Misal dipergunakan empat titik data (x0,y0), (x!,y1), (x2,y2), dan (x3,y3) Polinom yg menginterpolasi  polinom kuadrat p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 …………(1) Polinom p2(x) ditentukan dengan: substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1)  diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x02 + a3x03 = y0 a0 + a1x1 + a2x12 + a3x13 = y1 a0 + a1x2 + a2x22 + a3x23 = y2 a0 + a1x3 + a2x33 + a3x33 = y3 hitung a0,a1,a2,a3 dari sistem persamaan di atas dengan metode eliminasi Gauss

Interpolasi Kubik Polinom p3(x) ditentukan dengan: substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1)  diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x02 + a3x03 = y0 a0 + a1x1 + a2x12 + a3x13 = y1 a0 + a1x2 + a2x22 + a3x23 = y2 a0 + a1x3 + a2x33 + a3x33 = y3 hitung a0,a1,a2,a3 dari sistem persamaan di atas dengan metode eliminasi Gauss Substitusikan denga persamaan p3(x)

Dengan cara yang sama, bisa dibuat polinom interpolasi berderajat n untuk n yang lebih tinggi pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn Polinom p2(x) ditentukan dengan: substitusi (xi,yi) dalam persamaan (1)  diperoleh 2 persamaan a0 + a1x0 + a2x02 + a3x03 + … +anx0n = y0 a0 + a1x1 + a2x12 + a3x13 + … +anx1n = y1 a0 + a1x2 + a2x22 + a3x23 + … +anx2n = y2 a0 + a1x3 + a2x32 + a3x33 + … +anx3n = y3 …. …. … a0 + a1xn + a2xn2 + a3xn3 + … +anxnn = y3 hitung a0,a1,a2,a3,…,an dari sistem persamaan di atas dengan metode eliminasi Gauss Substitusi denga persamaan pn(x)

Polinom Lagrange Interpolasi ini digunakan untuk mencari dependen variable y = f(x) pada intermediate value diantara x yang diberikan

Polinom Newton