PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA Persamaan Differensial (PD) : Persamaan yang mengandung variabel x, y serta turunan-turunan dari y terhadap Tingkat dan derajat PD : PD tingkat n jika turunan tertinggi pada PD adalah ke-n PD derajat n jika pangkat tertinggi dari turunan tertinggi adalah n

JENIS – JENIS PD : I. PD dengan variabel yang dapat dipisahkan Bentuk Umum :

Contoh soal :

II. PD Homogen Definisi fungsi homogen : f(x,y) disebut homogen derajat n jika

Penyelesaian PD Homogen

III. PD EKSAK Bentuk umum

Contoh soal :

Cara Langsung

Penyelesaian

Cara Langsung:

Jika PD non eksak dapat dibuat eksak dengan cara mencari faktor integrasi (F.I)

IV. PD LINIER DAN PERSAMAAN BERNOULLI Bentuk Umum : Turunan maupun variabel tidak bebas berpangkat 1/linier Penyelesaian

Contoh Soal PD Linier

B. Persamaan Bernoulli Bentuk Umum :

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER tingkat n (PDL tingkat n) Bentuk Umum :

I. PDL HOMOGEN dengan Koefisien Konstanta Penyelesaiannya disebut Penyelesaian homogen/ penyelesaian komplementer/ yc tanpa operator 2 cara mencari yc dengan

1. Tanpa Operator misalkan

2. Dengan Operator

Jenis Akar-akar Persamaan Karakteristik Riil berbeda Riil berulang Kompleks a). Akar Riil Berbeda lihat contoh 2. di atas (Dengan Operator). b). Akar Riil Berulang Contoh :

c). Akar Kompleks Jika akar-akarnya a ± bi maka

II. PD TAK HOMOGEN dengan Koefisien Konstanta Bentuk Umum :

Mencari Penyelesaian Khusus/yP 1). Teknik Operator Invers (Rumus Integral Lipat)

2). Teknik Operator Invers

Metoda Koefisien Tak Tentu Dan Metoda Variasi Parameter Adalah 2 metoda lain untuk mencari penyelesaian khusus/yp A. Metoda Koefisien Tak Tentu

B. Metode Variasi Parameter Langkah-langkah menentukan yp : Tulis fungsi komplementernya/yc 2. Ganti semua konstanta C dengan L yaitu fungsi dari x

Lanjutan Metoda Variasi Parameter 3. Turunkan yp sebanyak order dari PDnya. Setelah diturunkan : - Semua bagian yang mengandung turunan dari L=0 - Pada turunan yang Terakhir, semua bagian yang mengandung turunan dari L=Q 4. Hitunglah 5. Tentukan

Contoh Soal Metoda Variasi Parameter :

Metoda Sederhana mencari penyelesaian khusus/yp untuk Q(x) tertentu

Persamaan Differensial Linier Dengan Koefisien Variabel Persamaan Cauchy Bentuk Umum :

Substitusikan (**) ke (*) sehingga diperoleh PD Linier dengan Koefisien Konstan. Contoh Soal :

PD SIMULTAN Ketentuan : Lebih dari 1 persamaan Jumlah persamaan = jumlah variabel tidak bebas Jumlah variabel bebas = 1 Bentuk Umum : Penyelesaian PD Simultan : Cara Eliminasi Cara dengan Determinan

Catatan : Banyaknya konstanta sembarang (yang bebas) yang muncul pada penyelesaian umum = derajat D dalam Δ di mana

TRANSFORMASI LAPLACE (TL)

Lanjutan Tabel Transformasi Laplace

Contoh Transformasi Laplace

TRANSFORMASI LAPLACE DARI FUNGSI TURUNAN

FUNGSI TANGGA SATUAN Definisi : U (t-a) = 0, t<a 1, t>a Grafiknya: U(t-a) 1 t a

Beberapa Teorema Khusus I. Teorema Translasi Pertama II. Teorema Translasi Kedua

Lanjutan Beberapa Teorema Khusus

TRANSFORMASI LAPLACE DALAM PENYELESAIAN PD Contoh: Selesaikan PD berikut

PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL (PDP) Definisi dari PDP : Persamaan-persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan- turunan parsial. Persamaan itu haruslah melibatkan paling sedikit 2 variabel bebas. Tingkat Persamaan Differensial Parsial Tingkat turunan tertinggi pada persamaan itu. Contoh : Pandanglah z sebagai variabel terikat dan x,y sebagai variabel bebas

Eliminasi Konstanta-konstanta Sebarang Pandang z sebagai fungsi 2 variabel bebas x dan y yang didefinisikan oleh 3). g(x,y,z,a,b)=0 a dan b 2 konstanta sebarang 3). Diturunkan secara parsial terhadap x dan y diperoleh

Konstanta-konstanta sebarang Dapat dieliminasikan dari 3)., 4)., 5). yang menghasilkan PDP tingkat 1. 6). f(x,y,z,p,q)=0 Contoh : Eliminasikan konstanta-konstanta sebarang a dan b dari

Eliminasi Fungsi - fungsi Sebarang Misalkan u=u(x,y,z) dan v=v(x,y,z) adalah fungsi-fungsi bebas dari variabel x,y,z, dan misalkan 7). Ф(u,v)=0 adalah suatu hubungan sebarang dari variabel-variabel. Pandang z sebagai variabel terikat dan diturunkan parsial terhadap x dan y, diperoleh

PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL LINIER TINGKAT 1 PDP tingkat 1 PDP Linier tingkat 1

PDP HOMOGEN TINGKAT TINGGI DENGAN KOEFISIEN-KOEFISIEN KONSTAN PERSAMAAN SEJENIS yang linier pada variabel terikat z dan turunan-turunan parsialnya PDP linier tingkat 1) adalah 3 tingkat turunan tertinggi

PDP Linier Homogen Dengan Koefisien-koefisien Konstan PDP Linier Sejenis di mana turunan-turunannya bertingkat sama homogen PDP Linier Homogen Dengan Koefisien-koefisien Konstan

PDP LINIER TAK-HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN-KOEFISIEN KONSTAN seperti

Contoh PDP LINIER TAK-HOMOGEN Yang dapat Direduksikan

PDP LINIER TAK-HOMOGEN yang Tak Dapat Direduksikan dengan Koefisien-Koefisien Konstan