BAB V DIFFERENSIASI

Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.1 A l Gambar 5.1

Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Perhatikan Gambar 5.2 A B l Gambar 5.2

Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan ,

l1 l Gambar 5.3 y A B Kemiringan garis l1 = m1 Kemiringan garis l = m x x x1 h Gambar 5.3

Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1 . Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam menjadi, (5.2) Persaman (5.2) adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan Gambar 5.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis l . Dalam bentuk limit dapat ditulis menjadi (5.3)

Persamaan 5.3 s.d. 5.5 adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x)) Contoh 5.1 Diketahui f(x) = 3x2 + 5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2) Penyelesaian

Jadi m = 6x (*) Persamaan garis singgung : y = mx + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a2 ) , maka persamaan (*) menjadi m = 6a persamaan (**) menjadi a2 = 6a2 + n. Sehingga n = – 5a2 Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2

5.2 Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 5.4 berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f’(x). Gambar 5.4 f(x) f’(x) Differensiasi Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 5.3 dan Gambar 5.3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk,

(5.6) Jika persamaan 5.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x. Contoh 4.2 Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3) Penyelesaian f(x) = 2x2 + 5x – 7 f(x+x) = 2(x+x)2 + 5(x+x) – 7 = 2x2 + 4xx +2(x)2 + 5x + 5x – 7 f(x+x) – f(x) = 4xx + 2(x)2 + 5x

5.3 Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut, Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka dy/dx = f’(x).

5.4 Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 5.6 yaitu,

Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x. 5.5 Teorema-teorema 5.5.1 Turunan bilangan konstan Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai, (5.7)

Bukti f(x) = c ; f(x+x) = c 5.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai, (5.8) Bukti Dengan mengunakan teorema binomial didapat,

Contoh 5.3 Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7 Penyelesaian,

5.5.3 Aturan penjumlahan Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, (5.9) h(x) = f(x) + g(x) h(x+x) = f(x+x) + g(x+x) =

Contoh 5.4

5.5.4 Aturan perkalian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, (5.10) Bukti h’(x) = f(x).g’(x) + g(x).f’(x) (terbukti)

Contoh 5.5 Penyelesaian

5.5.5 Aturan pembagian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, (5.11) Bukti

Contoh 5.6 Penyelesaian f(x) = 2x4 – 3x2 f’(x) = 8x3 – 6x g(x) = 4x3 g’(x) = 12x2

5.5.6 Turunan fungsi komposisi Bukti Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x). (5.12)

u = g(x) u= g(x+x) – g(x)  g(x+x) = g(x) + u = u + u Jika u  0 maka x  0 y = f(g(x)) y = f(g(x+x)) – f(g(x))

Persamaan 5.12 disebut aturan rantai Contoh 5.7 Tentukan jika y = (4x3 + 5x2 – x + 4)3 Penyelesaian Misal u = 4x3 + 5x2 – x + 4 ; y = u3

= 3(12x2 + 10x – 1)(4x3 + 5x2 – x + 4)2 5.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri (5.13) Bukti

= (sinx)(0) + (cosx)(1) = cos x (terbukti)

(5.14) Bukti

(5.15) Bukti = = (cosx)(0) - (sinx)(1) = -sinx (terbukti)

= (cosx)(0) – (sinx)(1) = – sinx (terbukti) (5.16) Bukti

Contoh 5.8 Penyelesaian Misa u = –2x ; y = sin u Contoh 5.9 Penyelesaian

Contoh 5.10 Penyelesaian Misa u = sin2x v=cos3x

Contoh 5.11 Penyelesaian Misal u = sin 3x v = cos 4x

(5.17) Bukti u = sin x v = cos x (5.18)

Bukti Contoh 5.12 Penyelesaian Misal u = 3x y = 5 tan u

(5.19) Bukti u = cos x v = sin x (5.20) Bukti

Contoh 5.13 Penyelesaian

(5.21) Bukti (5.22) Bukti

(5.23) Bukti

(5.24) Bukti

Contoh 5.15 Penyelesaian

5.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers (5.25) Bukti 1 x y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! sin y = x

(5.26) Bukti Contoh 5.16 Penyelesaian

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! (5.27) Bukti Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! 1 y x cos y = x

(5.28) Bukti Contoh 5.17 Penyelesaian

(5.29)

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! Bukti Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! tan y = x 1 y x

(5.30) Bukti Contoh 5.18 Penyelesaian

(5.31) Bukti

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! cot y = x 1 (5.32) Bukti

Contoh 5.19 Penyelesaian (5.33) Bukti

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! sec y = x 1 y x

(5.34) Bukti Contoh 5.20 Penyelesaian

(5.35) Bukti

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! csc y = x 1 y x

(5.36) Bukti Contoh 5.21 Penyelesaian

5.8 Turunan fungsi eksponen (5.37) Bukti

Dengan menggunakan teorema binomial didapat, (5.38) (5.39)

Jika y = f(x) = ex Sehingga

Bukti (5.40) Contoh 5.22 Penyelesaian

5.9 Turunan fungsi logaritma Misal u = a – bx 5.9 Turunan fungsi logaritma (5.41)

(5.42) Bukti

Contoh 5.23 Penyelesaian

(5.43) Bukti (5.44) Bukti

Contoh 5.24 Penyelesaian Diketahui a = 7