VI. PENYELESAIAN PERSAMAAN Ax = b Dengan A adalah MBS (II) TEKNIK KOMPUTASI VI. PENYELESAIAN PERSAMAAN Ax = b Dengan A adalah MBS (II)

Materi Menggunakan faktorisasi LU dengan algoritma Doolitle tanpa penukaran baris Menggunakan faktorisasi LU dengan algoritma Doolitle dengan penukaran baris Implementasi

6.4. Metode Faktorisasi LU (1) Persamaan linear Ax = b dengan matrix A ≡ (ai j) Є Rn x n dapat diselesaiakan lewat metode faktorisasi LU dalam 3 tahap, yaitu: i. Faktorisasi atas A = LU L : Matrix segitiga bawah U : Matrix segitiga atas ii. Selesaikan persamaan: Ly = b (dengan substitusi maju)  y diperoleh. iii. Selesaikan persamaan: Ux = y  x jawabannya (dengan substitusi mundur)

6.4. Metode Faktorisasi LU (2) Faktorisasi dapat dilakukan dengan algoritma Doolittle (I) untuk tanpa penukaran baris, dan Doolittle (II) bagi yang dengan penukaran baris. 1). Faktorisasi Doolittle (I): tanpa penukaran baris. Bila A adalah MBS, dengan: A ≡ (ai j) Є Rn x n ,maka L dan U dapat diperoleh dengan algoritma sebagai berikut:

6.4. Metode Faktorisasi LU (3) 0. Langkah awal: k : = 1, Untuk j = 1, 2, ...., n, kerjakan u1j : = a1j lj1 : = aj1/u11 1. Untuk langkah k = 2, 3, ...., (n-1), kerjakan : Untuk j = k, k+1, k+2, ...., n, kerjakan: ukj : = akj – ljk : = (ajk - )/ukk 2. Langkah terakhir, k = n, kerjakan: unn : = ann -

6.4. Metode Faktorisasi LU (4) Dengan algoritma ini, metode komputasi manual dapat dikembangkan secara sistematis. Contoh Faktorisasi LU tanpa penukaran baris dengan Doolittle(I) :

6.4. Metode Faktorisasi LU (5) Langkah 1 Langkah 2 Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5

6.4. Metode Faktorisasi LU (6) Contoh (1) Jawab: Dengan faktorisasi LU :

6.4. Metode Faktorisasi LU (7) y1 = 4 y2 = 0 y3 = 0 y4 = 0

6.4. Metode Faktorisasi LU (8) Contoh (2) Selesaikan: Hasil faktorisasi A = LU adalah :

6.4. Metode Faktorisasi LU (9)

6.4. Metode Faktorisasi LU (10)

6.4. Metode Faktorisasi LU (11) 2). Faktorisasi Doolittle (II): dengan penukaran baris. Penukaran baris dilakukan, bila dijumpai pada langkah ke-k, akk tidak merupakan max|a(k+i)k| guna menghindari ukk=0. Ini untuk menghindari terjadinya kemacetan komputasi. Mencari akk = max|a(k+i)k| ini disebut pivoting

6.4. Metode Faktorisasi LU (12) Algoritma sebagai berikut : 0.Langkah awal: k : = 1, Lakukan penukaran baris Untuk j = 1, 2, ...., n, kerjakan u1j : = a1j lj1 : = aj1/u11 1. Untuk langkah k = 2, 3, ...., (n-1), kerjakan : Untuk j = k, k+1, k+2, ...., n, kerjakan: ukj : = akj - ljk : = (ajk - )/ukk

6.4. Metode Faktorisasi LU (13) 2. Langkah terakhir, k = n, kerjakan: unn : = ann – Apabila Ax = b, maka diperoleh hasil faktorisasi dengan penukaran baris adalah: L, U dan P(= matrix permutasi karena penukaran baris) maka: Ly = Pb  y diperoleh Ux = y  x jawaban

6.4. Metode Faktorisasi LU (14) Contoh (3) Dengan penukaran baris selesaikan : macet, karena bilangan real dibagi dengan nol ∞  lakukan pivoting

6.4. Metode Faktorisasi LU (15)

6.4. Metode Faktorisasi LU (15) Ux = y Contoh (4) Selesaikan dengan faktorisasi LU : 0.21x1 + 0.32x2 + 0.12x3 + 0.31x4 = 0.96 0.10x1 + 0.15x2 + 0.24x3 + 0.22x4 = 0.71 0.20x1 + 0.24x2 + 0.46x3 + 0.36x4 = 1.26 0.61x1 + 0.40x2 + 0.32x3 + 0.20x4 = 1.53

6.4. Metode Faktorisasi LU (16) Jawaban : Bentuk matrix dari persamaan di atas adalah sebagai berkut: Jika dilakukan penukaran baris ke-1 dengan ke-4 pada matrix A lebih dahulu, diperoleh: A x b

6.4. Metode Faktorisasi LU (17) Faktorisasi LU Iterasi 1

6.4. Metode Faktorisasi LU (18) Dilakukan penukaran baris nomor 2 dengan nomor 1 lebih dahulu, hasil faktorisasi Iterasi 2 , diperoleh : Iterasi 3 (tidak terjadi pertukaran baris), diperoleh :

6.4. Metode Faktorisasi LU (19) Iterasi 4 (tidak terjadi pertukaran baris), diperoleh : Maka:

6.4. Metode Faktorisasi LU (20) Ly = Pb Dengan demikian dapat dihitung y1 s/d y4 : Ux = y

6.4. Metode Faktorisasi LU (21) Diperoleh x1 s/d x4 sebagai berikut: xT= [ 1 1 1 1 ]

Tugas: Diketahui: A1 = [3 2 2 1; 2 2 2 1; 1 1 2 2; 1 1 1 1] b T= [6 10 8 4] Selesaikan A1 x = b dengan faktorisasi LU Selesaikan A2 = LU dengan faktorisasi LU (bila perlu gunakan penukaran baris (pivoting))