Mata Kuliah Penelitian Operasional II ALGORITMA TRANSPORTASI Herman R. Suwarman, S.Si, MT

Kasus Transportasi SunRay Kapal-kapal milik SunRay Transport Company membawa gandum dari tiga gudang (silo) ke empat tempat penggilingan (Mill). Penawaran (dalam jumlah muatan) dan permintaan (yang juga dalam jumlah muatan ) bersama-sama dengan biaya transportasi/muatan pada rute yang berbeda dirangkum dalam model transportasi pada tabel 1. unit biaya transportasi, cij (ditunjukkan pada sudut barat laut setiap kotak)

Tabel 1 Model Transportasi untuk Kasus SunRay Transport Company Mill 1 2 3 4 Supply   10 20 11 15 x11 x12 x13 x14 Silo 12 7 9 25 x21 x22 x23 x24 14 16 18 x31 x32 x33 x34 Demand 5

Langkah-langkah Algoritma Transportasi Langkah 1 Tentukan solusi awal layak dasar (basis), dan lanjutkan ke langkah 2 Langkah 2 Gunakan kondisi optimalitas dari metode simpleks untuk menentukan variabel masuk dari diantara semua variabel non dasar. Jika kondisi optimalitas dipenuhi, stop. Jika belum dipenuhi, lanjutkan ke langkah 3 Langkah 3 Gunakan kondisi layak untk metode simpleks untuk menentukan variabel keluar dari diantara semua variabel dasar yang ada, temukan solusi dasar yang baru. Kembali ke langkah 2

Langkah 1- Menentukan Solusi Awal Northwest-corner methode Least – cost method Vogel approximation method

Langkah 1-Northwest-Corner Method Metode ini mulai dari sel (rute) sudut barat laut dari tabel dalam hal ini adalah x11 Langkah 1 Alokasikan sebanyak mungkin terhadap sel yang dipilih, dan sesuaikan dengan jumlah penawaran (supply) dan permintaan (demand) dengan mengurangi jumlah yang dialokasikan Langkah 2 Silang baris atau kolom dengan jumlah nol penawaran atau nol permintaan untuk mengindikasikan bahwa tidak ada penetapan lebih lanjut dalam baris atau kolom tersebut. Jika kedua baris atau kolom menghasilkan 0 secara bersamaan, silang salah satu saja, dan biarkan penawaran (permintaan) dalam keadaan tidak disilang

Langkah 1-Northwest-Corner Method Langkah 3 jika tepat satu baris atau satu kolom yang tertinggal tidak disilang lagi, maka berhenti. Jika tidak, bergeraklah ke sel ke sebelah kanan yang telah disilang (bernilai 0) atau kebawah jika baris telah disilang (bernilai 0). Kembali lagi ke langkah 1

Langkah 1-Northwest-Corner Method 2 3 4 Supply   10 20 11 15 5 12 7 9 25 14 16 18 Demand

Langkah 1-Northwest-Corner Method Solusi basis awal akan diberikan oleh x11 = 5 x12 = 10 x22 = 5 x23 = 15 x24 =5 x34 = 10 Sehingga biaya untuk jadwal ini adalah Z = 5 x 10 + 10 x 2 + 5 x 7 + 15 x 9 + 5 x 20 + 10 x 18 = $ 520

Langkah 1 -Least-Cost Method Least cost method (metode biaya terendah) merupakan metode menentukan solusi awal yang lebih baik yaitu dengan mengkonsentrasikan pada rute yang paling murah (biaya terendah). Metode ini dimulai dengan menetapkan sel dengan biaya unit terkecil. Kemudian, baris atau kolom yang disilang dan jumlah dari penawaran (supply) dan permintaan (demand) disesuaikan secara berturut-turut. Jika kedua baris atau kolom terpenuhi secara bersamaan, hanya satu yang disilang, seperti halnya pada metode northwest-corner. Kemudian carilah sel-sel yang belum disilang dengan biaya unit terendah dan ulangi proses hingga tepat satu kolom atau baris yang tidak disilang.

Langkah 1 -Least-Cost Method 2 3 4 Supply   10 20 11 15 12 7 9 25 14 16 18 5 Demand

Langkah 1 -Least-Cost Method Sel (1,2) mempunyai unit biaya terendah ($2). Jumlah yang bisa diantarkan melalui sel (1,2) adalah x12 = 15 muatan dimana hal ini terjadi untuk memenuhi baris 1 dan kolom 2 secara bersamaan. Kita dapat secara sembarang menyilang kolom 2 dan menetapkan penawaran (supply) pada baris 1 adalah 0. Sel (3,1) merupakan unit biaya terkecil yang belum disilang berikutnya ($4). Tetapkan x31 = 5, silanglah kolom 1, karena memenuhi jumlah permintaan, dan tetapkan baris 3 sebesar 10 -5 = 5 muatan Lanjutkan dengan pola yang sama, kita dapat menetapkan 15 muatan terhadap sel (2,3), 0 muatan pada sel (1,4), 5 muatan pada sel (3,4), dan 10 muatan pada sel (2,4). (silahkan verifikasi!)

Langkah 1 -Least-Cost Method Solusi basis awal ditemukan adalah sbb: x12 = 15 x14 = 0 x23 = 15 x24 =10 x31 =5 x34 =5 Sehingga biaya u/ jadwal ini sbb: Z = 15 x 2 + 0 x 11 + 15 x 9 +10 x 20 + 5 x 4 + 5 x 18 = $475

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) VAM merupakan metode Least-cost method yang telah diperbaiki secara umum menghasilkan solusi awal yang lebih baik.

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) Langkah 1 untuk setiap baris (kolom), tentukan ukuran penalti dengan mengurangi elemen unit biaya terkecil pada baris (kolom) dari unit biaya terkecil berikutnya dalam baris (kolom) yang sama Langkah 2 Identifikasi baris atau kolom dengan nilai penalti yang terbesar. Alokasikan sebanyak mungkin terhadap variaebl dengan unit biaya terendah dalam baris atau kolom yang terpilih. Sesuaikan penawaran dan permintaan, dan silanglah baris dan kolom yang sudah terpenuhi. Jika baris dan kolom terpenuhi secara bersamaan, hanya satu saja yang disilang, dan baris (kolom) yang tertinggal ditetapkan memiliki penawaran (permintaan) bernilai nol.

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) Langkah 3 a) Jika tepat satu kolom atau baris dengan nilai penawaran atau permintaan adalah nol berada pada status belum tersilang, maka langkah berhenti b) Jika satu baris (kolom) dengan nilai penawaran (permintaan ) positif tetap ada pada sel-sel yang belum tersilang, tentukan variabel dasar dalam baris (kolom) dengan metode Least-cost. Kemudian berhenti c) Jika semua baris dan kolom yang belum disilang mempunyai nilai permintaan dan penawaran adalah nol, tentukan nilai varabel dasar dengan menggunakan metode Least-cost. Kemudian berhenti d) sebaliknya, kembali ke langkah 1.

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) 2 3 4 Supply Penalty Baris   10 20 11 15 10-2 =8 12 7 9 25 9-7 =2 14 16 18 14-4 =10 Demand 5 10-4=6 7-2=5 16-9=7 18-11=7 Penalti kolom

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) 2 3 4 Supply Penalty Baris   10 20 11 15 10-2 =8 12 7 9 25 9-7 =2 14 16 18 14-4 =10  5 Demand 5 10-4=6 7-2=5 16-9=7 18-11=7 Penalti kolom

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) Karena baris 3 mempunyai nilai penalti yang paling besar (=10) dan sel (3,1) mempunyai biaya unit terkecil pada baris tersebut, maka nilai 5 ditetapkan pada x31. kolom 1 sekarang sudah dipenuhi dan harus disilang.

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) 2 3 4 Supply Penalty Baris   10 20 11 15 11-2 =9  15 12 7 9 25 9-7 =2 14 16 18 16-14=2  5 Demand 5 - 7-2=5 16-9=7 18-11=7 Penalti kolom

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) Karena baris 1 mempunyai nilai penalti yang paling besar (=9), dengan demikian kita dapat menetapkan sel (1,2) yang mempunyai biaya unit terendah ($2). Kemudian kita dapatkan x12= 15 dan secara bersamaan memenuhi baris 1 dan kolom 2. secara sembarang kita tetapkan kolom 2 untuk disilang dan menyesuaikan penawaran (supply) pada baris 1 adalah 0.

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) 2 3 4 Supply Penalty Baris   10 20 11 15 20 -11= 9  15 12 7 9 25 20 -9= 11 14 16 18 18-16=2  5 Demand 5 - 16-9=7 18-11=7 Penalti kolom

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) 2 3 4 Supply   10 20 11 15  15  0 12 7 9 25  10 14 16 18  5 Demand 5

Langkah 1 – Vogel Approximation Method (VAM) Solusi basis awal ditemukan adalah sbb: x12 = 15 x14 = 0 x23 = 15 x24 =10 x31 =5 x34 =5 Sehingga biaya u/ jadwal ini sbb: Z = 15 x 2 + 0 x 11 + 15 x 9 +10 x 20 + 5 x 4 + 5 x 18 = $475 (hasil yang sama dengan Least-Cost Method)

Langkah-langkah Algoritma Transportasi Langkah 1 Tentukan solusi awal layak dasar (basis), dan lanjutkan ke langkah 2 Langkah 2 Gunakan kondisi optimalitas dari metode simpleks untuk menentukan variabel masuk dari diantara semua variabel non dasar. Jika kondisi optimalitas dipenuhi, stop. Jika belum dipenuhi, lanjutkan ke langkah 3 Langkah 3 Gunakan kondisi layak untk metode simpleks untuk menentukan variabel keluar dari diantara semua variabel dasar yang ada, temukan solusi dasar yang baru. Kembali ke langkah 2

Algoritma Transportasi Mill 1 2 3 4 Supply   10 20 11 15 x11 x12 x13 x14 Silo 12 7 9 25 x21 x22 x23 x24 14 16 18 x31 x32 x33 x34 Demand 5

Langkah 1-Northwest-Corner Method 2 3 4 Supply   10 20 11 15 5 12 7 9 25 14 16 18 Demand Z=$520

Solusi Awal layak Z=5 x 10+10x2+5x7+15x9+5x20+1-x18 Z= $520

Langkah 2 - method of multipliers Prinsip: Menggunakan kondisi optimalitas untuk menentukan variabel masuk dari variabel non dasar sehingga dapat memperbaiki solusi. Jika keadaan optimal tercapai maka iterasi berhenti. Jika belum maka, lanjutkan ke langkah 3. Untuk menetapkan variabel non dasar yang masuk ke variabel dasar dilakukan komputasi terhadap koefisien variabel non dasar menggunakan method of multipliers.

Langkah 2 - method of multipliers dalam metode ini kita menggunakan ui dan vj dengan baris i dan kolom j pada tabel transportasi, untuk setiap variabel xij: setelah menetapkan secara sembarang u1 = 0 maka nilai ui dan vj pada pada setiap variabel dasar akan diketahui. Kita akan menggunakan nilai ui dan vj untuk mengevaluasi variabel non dasar dengan mengkomputasi persamaan berikut ini. Hasil evaluasi dari metode ini adalah variabel non dasar yang masuk ke variabel dasar

Langkah 2 - method of multipliers Variabel dasar Persamaan (u, v) Solusi

Langkah 2 - method of multipliers u1 = 0 u2 = 5 u3 = 3 v1 = 10 v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15

Langkah 2 - method of multipliers Variabel non dasar Persamaan (u, v)

Langkah 2 - method of multipliers x31 masuk variabel dasar Mill V1=10 v2=2 v3=4 v4=15 Supply u1=0   10 2 20 11 15 5 -16 4 u2=5 12 7 9 25 3 u3=3 14 16 18 -9 Demand

Langkah 3 – metode Loop x31 merupakan variabel yang masuk variabel dasar pada langkah 2. Tujuan dari langkah 3 ini adalah menentukan variabel yang keluar dari variabel dasar. Tetapkan x31 = θ, nilai maksimum dari θ ditentukan oleh dua kondisi: Batas supply dan demand harus tetap terpenuhi Pengiriman melalui semua rute harus non negatif Loop tertutup tersebut memuat segment horizontal dan vertikal yang terhubung saja (tidak diizinkan segmen diagonal)

Langkah 3 – metode Loop v1=10 v2=2 v3=4 v4=15 Supply u1=0 10 2 20 11   10 2 20 11 15 5-θ 10+θ -16 4 u2=5 12 7 9 25 3 5+θ u3=3 14 16 18 θ -9 10-θ Demand 5

x11=5-θ≥0 x22=5-θ≥0 x34=5-θ≥0 x11 keluar basis Solusi baru Z = 15x2+0x7+15x9+10x20+5x4+5x18 Z= 475

Kondisi belum optimal x14 masuk basis v1=1 v2=2 v3=4 v4=15 Supply u1=0   10 2 20 11 15 -9 -16 4 u2=5 12 7 9 25 -6 u3=3 14 16 18 5 Demand Z= 475

Langkah 3- Loop v1=1 v2=2 v3=4 v4=11 Supply u1=0 10 2 20 11 15 -9 15-θ   10 2 20 11 15 -9 15-θ -16 θ u2=5 12 7 9 25 -6 0+θ 10-θ u3=3 4 14 16 18 5 Demand

Kondisi layak x24=10-θ≥0 x14-15-θ≥0 x24 keluar basis Z= 5x2 + 10x11+7x10+15x9+5x4 Z=$435

Kondisi Optimal v1=-3 v2=2 v3=4 v4=11 Supply u1=0 10 2 20 11 15 -13 5   10 2 20 11 15 -13 5 -16 u2=5 12 7 9 25 -10 -4 u3=7 4 14 16 18 -5 Demand Z=$435

Kondisi optimal Z = 5 x2 +10 x 7 +15x9 +10x11+5x18=$435 Dari silo ke Mill Jumlah beban 1 2 5 4 10 3 15 Biaya optimal = $ 435

Masalah Transportasi Penjelasan Metode Simpleks untuk Metode Pengali Herman R. Suwarman, S.Si, MT.

Bentuk Dual Model LP Transportasi

Bentuk Dual Model LP Transportasi

Bentuk Dual Model LP Transportasi Pada variabel basis

Daftar Pustaka Taha A. H., Operations Resesarch, An Introduction, 7th Edition, Prentice Hall, 2003