Himpunan Terurut Parsial

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Ring dan Ring Bagian.
Advertisements

Prepared by eva safaah LA – POSET Prepared by eva safaah
RELASI.
Relasi Ekivalen dan Urutan Parsial
RELASI.
Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi
RELASI LANJUTAN.
TIM DOSEN MATEMATIKA DISKRIT
Himpunan: suatu kumpulan dari obyek-obyek.
RADITEO W SATRIA FIANDIKA SHABRINA MIHANORA
Ring dan Ring Bagian.
RELASI Relasi antara Ayah dan anak, Ibu dengan anak, dll
Relasi.
BAB 1. SELANG, KETAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK
4. RELASI.
Wawan Laksito Seri Kuliah Matematika Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit
Definisi Relasi (binair) R dari himpunan X ke himpunan Y adalah sebuah subhimpunan dari hasil kali Cartesius X x Y. Notasi : Jika (x,y)  R maka : x R.
4. RELASI.
BAB III MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI
Bab 4 Relasi.
Relasi dan Fungsi.
MATRIKS & RELASI.
MATRIKS & RELASI.
Matematika Diskrit bab 2-Himpunan
MUG2A3 MATEMATIKA DISKRIT
Relasi Oleh Cipta Wahyudi.
Matriks, Relasi, dan Fungsi
Matematika Informatika 2
BAB III MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI
Relasi Semester Ganjil TA
Relasi dan Fungsi.
Matematika Diskrit Relasi Heru Nugroho, S.Si., M.T.
Relasi Logika Matematika.
RELASI dan FUNGSI Kelompok: 4 Siti Salamah ( )
Relasi dan Fungsi (X-Wajib).
Representasi Relasi Sifat-Sifat Relasi
3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI
Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI.
Pertemuan 6 HIMPUNAN.
Wawan Laksito Seri Kuliah Matematika Diskrit
Matematika Diskrit Relasi Dani Suandi, S.Si.,M.Si.
LOGIKA INFORMATIKA I Gusti Ayu Agung Diatri Indradewi, S. Kom
Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit
Sistem Bilangan Bulat.
BILANGAN.
Pertemuan 10 ReLASI DAN FUNGSI.
RELASI Sub-bab 7.1.
BAB 2...RUANG VEKTOR
1 1.1 Sistem Bilangan BAB 1. SELANG, KETAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK Himp Bil. real Himp Bil. Immaginair Himp Bil. Irrasional Himp Bil. Rasional Himp Bil.
BAB III MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI
Relasi.
LA – RELASI 01.
LA – RELASI 01 Prepared by eva safaah.
RELASI DAN FUNGSI.
RELASI Will be presented by : Muhammad Nufail ( )
Materi Kalkulus 1 Struktur Bilangan Ketidaksamaan Relasi dan Fungsi
Matematika Diskrit TIF (4 sks) 3/9/ /5/2010.
TUTUPAN RELASI (Closure of Relation)
Pertemuan 9 RELASI DAN FUNGSI.
Matematika Diskrit TIF (4 sks) 3/9/ /5/2010.
Teori bilangan Kuliah ke – 3 dan 4
HIMPUNAN.
Urutan Bilangan Bulat.
Sifat Sifat Bilangan Real
CCM110 MATEMATIKA DISKRIT Pertemuan ke-2 FUNGSI dan RELASI
BAB 1. SELANG, KETAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK
Matematika Diskrit Semester Ganjil TA Relasi.
SUPER QUIZ.
Relasi Ekivalen dan Urutan Parsial. 2 Relasi Ekivalen Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal.
Transcript presentasi:

Himpunan Terurut Parsial Disampaikan Oleh : Malalina Trilius Septaliana KR POSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial

DEFINISI Suatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi pengurutan tak lengkap atau relasi pengurutan parsial / POSET (partial ordering relation) jika ia bersifat refleksif, antisimmetris, dan transitif.

REFLEKSIF Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a)  R untuk setiap a  A. Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a  A sedemikian sehingga (a, a)  R.

CONTOH REFLEKSIF Diketahui A = {-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} Suatu relasi R didefinisikan sebagai berikut : Periksa apakah R refleksif atau tidak. Penyelesaian Ambil x = 0. Karena 0.0 = 0, maka Dengan demikian ada sedemikian hingga Ini berarti bahwa R tidak refleksif.

CONTOH REFLEKSIF Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } Apakah relasi ini refleksif ?

CONTOH REFLEKSIF Penyelesaian : Relasi bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4). Relasi tidak bersifat refleksif karena (3, 3)  R.

CONTOH REFLEKSIF Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : lebih besar dari y S : x + y = 5 T : 3x + y = 10 Penyelesaian : Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.

SIMMETRIS DAN ANTISIMMETRIS Relasi R pada himpunan A disebut SIMETRIS jika (a, b)  R, maka (b, a)  R untuk a, b  A. Relasi R pada himpunan A TIDAK SIMETRIS jika (a, b)  R sedemikian sehingga (b, a)  R. Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b)  R dan (b, a)  R hanya jika a = b untuk a, b  A disebut ANTISIMMETRIS Relasi R pada himpunan A TIDAK ANTISIMMETRIS jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b)  R dan (b, a)  R.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2)} Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)}

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Penyelesaian : Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat simetris karena jika (a, b)  R maka (b, a) juga  R. Di sini (1, 2) dan (2, 1)  R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2)  R. Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak simetris karena (2, 3)  R, tetapi (3, 2)  R.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } antisimetris karena 1 = 1 dan (1, 1)  R, 2 = 2 dan (2, 2)  R, dan 3 = 3 dan (3, 3)  R. Perhatikan bahwa R juga simetris. Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak antisimetris, karena 2  4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS e. Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak simetris dan tidak antisimetris, f. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak simetris dan tidak antisimetris. R tidak simetris karena (4, 2)  R tetapi (2, 4)  R. R tidak antisimetris karena (2, 3)  R dan (3, 2)  R tetap 2  3.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6, T : 3x + y = 10 Apakah simmetris atau antisimmetris

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Penyelesaian : - R bukan relasi simetris karena, misalkan 5 lebih besar dari 3 tetapi 3 tidak lebih besar dari 5. - S relasi simetris karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S. - T tidak simetris, karena misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi (1, 3) bukan anggota T. - S bukan relasi antisimetris karena, misalkan (4, 2)  S dan (4, 2)  S tetapi 4  2.

TRANSITIF Relasi R pada himpunan A disebut TRANSITIF jika (a, b)  R dan (b, c)  R, maka (a, c)  R, untuk a, b, c  A.

R = {(–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0, 0), (0,1), (1, –1)} CONTOH TRANSITIF Diketahui A = {–1, 0, 1} Relasi R didefinisikan sebagai berikut R = {(x,y); x,y A, x ≤ y} Periksa apakah R transitif atau tidak. Penyelesaian A x A = {(–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0, –1), (0, 0), (0,1), (1, –1), (1,0), (1,1)} Karena R = {(x,y); x,y A, x ≤ y}dan R merupakan himpunan bagian dari A x A, maka R dapat dinyatakan sebagai berikut R = {(–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0, 0), (0,1), (1, –1)} Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap x, y , z  A dengan xRy dan yRz, maka xRz. Dengan demikian R adalah relasi yang transitif.

CONTOH TRANSITIF Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) Apakah R bersifat transitif ?

CONTOH TRANSITIF Penyelesaian : a. bersifat transitif. Lihat tabel berikut:

CONTOH TRANSITIF R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak transitif karena (2, 4) dan (4, 2)  R, tetapi (2, 2)  R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3)  R, tetapi (4, 3)  R. c. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas transitif

CONTOH TRANSITIF Dua buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6,

CONTOH TRANSITIF Penyelesaian : - R adalah relasi transitif karena jika x > y dan y > z maka x > z. - S tidak transitif, karena misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4)  S.

DEFINISI Misalkan (P, ≤) sebuah poset. Jika untuk setiap x, y  P, berlaku x ≤ y atau y ≤ x, maka (P, ≤) disebut rantai

CONTOH SOAL Misalkan Z adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Relasi ≤ (kurang dari atau sama dengan) adalah sebuah relasi pada Z. periksa apakah himpunan Z dengan relasi atau dinotasikan (Z, ≤) merupakan poset atau bukan?

PENYELESAIAN Karena untuk setiap x  Z berlaku x ≤ x, maka sifat refleksif terpenuhi. Karena untuk setiap x, y  Z dengan x ≤ y dan y ≤ x, berarti bahwa x = y, maka sifat antisimetris terpenuhi. Karena untuk setiap a, b, c  Z, dengan a ≤ b, b ≤ c, berlaku a ≤ c, maka sifat transitif terpenuhi. Dengan demikian, karena ketiga sifat terpenuhi, maka (Z, ≤) adalah sebuah poset.

LATIHAN A = {a,b,c,d}  dan relasi R didefinisikan pada A sebagai R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (a,c), (a,d), (b,d), (b,c) }. Apakah R sebuah poset? Misalakan R adalah himpunan semua bilangan real. Periksalah apakah (R, ≤) sebuah poset ?