Himpunan Terurut Parsial Disampaikan Oleh : Malalina Trilius Septaliana KR POSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial

DEFINISI Suatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi pengurutan tak lengkap atau relasi pengurutan parsial / POSET (partial ordering relation) jika ia bersifat refleksif, antisimmetris, dan transitif.

REFLEKSIF Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a)  R untuk setiap a  A. Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a  A sedemikian sehingga (a, a)  R.

CONTOH REFLEKSIF Diketahui A = {-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} Suatu relasi R didefinisikan sebagai berikut : Periksa apakah R refleksif atau tidak. Penyelesaian Ambil x = 0. Karena 0.0 = 0, maka Dengan demikian ada sedemikian hingga Ini berarti bahwa R tidak refleksif.

CONTOH REFLEKSIF Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } Apakah relasi ini refleksif ?

CONTOH REFLEKSIF Penyelesaian : Relasi bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4). Relasi tidak bersifat refleksif karena (3, 3)  R.

CONTOH REFLEKSIF Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : lebih besar dari y S : x + y = 5 T : 3x + y = 10 Penyelesaian : Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.

SIMMETRIS DAN ANTISIMMETRIS Relasi R pada himpunan A disebut SIMETRIS jika (a, b)  R, maka (b, a)  R untuk a, b  A. Relasi R pada himpunan A TIDAK SIMETRIS jika (a, b)  R sedemikian sehingga (b, a)  R. Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b)  R dan (b, a)  R hanya jika a = b untuk a, b  A disebut ANTISIMMETRIS Relasi R pada himpunan A TIDAK ANTISIMMETRIS jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b)  R dan (b, a)  R.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2)} Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)}

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Penyelesaian : Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat simetris karena jika (a, b)  R maka (b, a) juga  R. Di sini (1, 2) dan (2, 1)  R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2)  R. Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak simetris karena (2, 3)  R, tetapi (3, 2)  R.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } antisimetris karena 1 = 1 dan (1, 1)  R, 2 = 2 dan (2, 2)  R, dan 3 = 3 dan (3, 3)  R. Perhatikan bahwa R juga simetris. Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak antisimetris, karena 2  4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS e. Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak simetris dan tidak antisimetris, f. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak simetris dan tidak antisimetris. R tidak simetris karena (4, 2)  R tetapi (2, 4)  R. R tidak antisimetris karena (2, 3)  R dan (3, 2)  R tetap 2  3.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6, T : 3x + y = 10 Apakah simmetris atau antisimmetris

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Penyelesaian : - R bukan relasi simetris karena, misalkan 5 lebih besar dari 3 tetapi 3 tidak lebih besar dari 5. - S relasi simetris karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S. - T tidak simetris, karena misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi (1, 3) bukan anggota T. - S bukan relasi antisimetris karena, misalkan (4, 2)  S dan (4, 2)  S tetapi 4  2.

TRANSITIF Relasi R pada himpunan A disebut TRANSITIF jika (a, b)  R dan (b, c)  R, maka (a, c)  R, untuk a, b, c  A.

R = {(–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0, 0), (0,1), (1, –1)} CONTOH TRANSITIF Diketahui A = {–1, 0, 1} Relasi R didefinisikan sebagai berikut R = {(x,y); x,y A, x ≤ y} Periksa apakah R transitif atau tidak. Penyelesaian A x A = {(–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0, –1), (0, 0), (0,1), (1, –1), (1,0), (1,1)} Karena R = {(x,y); x,y A, x ≤ y}dan R merupakan himpunan bagian dari A x A, maka R dapat dinyatakan sebagai berikut R = {(–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0, 0), (0,1), (1, –1)} Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap x, y , z  A dengan xRy dan yRz, maka xRz. Dengan demikian R adalah relasi yang transitif.

CONTOH TRANSITIF Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) Apakah R bersifat transitif ?

CONTOH TRANSITIF Penyelesaian : a. bersifat transitif. Lihat tabel berikut:

CONTOH TRANSITIF R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak transitif karena (2, 4) dan (4, 2)  R, tetapi (2, 2)  R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3)  R, tetapi (4, 3)  R. c. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas transitif

CONTOH TRANSITIF Dua buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6,

CONTOH TRANSITIF Penyelesaian : - R adalah relasi transitif karena jika x > y dan y > z maka x > z. - S tidak transitif, karena misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4)  S.

DEFINISI Misalkan (P, ≤) sebuah poset. Jika untuk setiap x, y  P, berlaku x ≤ y atau y ≤ x, maka (P, ≤) disebut rantai

CONTOH SOAL Misalkan Z adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Relasi ≤ (kurang dari atau sama dengan) adalah sebuah relasi pada Z. periksa apakah himpunan Z dengan relasi atau dinotasikan (Z, ≤) merupakan poset atau bukan?

PENYELESAIAN Karena untuk setiap x  Z berlaku x ≤ x, maka sifat refleksif terpenuhi. Karena untuk setiap x, y  Z dengan x ≤ y dan y ≤ x, berarti bahwa x = y, maka sifat antisimetris terpenuhi. Karena untuk setiap a, b, c  Z, dengan a ≤ b, b ≤ c, berlaku a ≤ c, maka sifat transitif terpenuhi. Dengan demikian, karena ketiga sifat terpenuhi, maka (Z, ≤) adalah sebuah poset.

LATIHAN A = {a,b,c,d}  dan relasi R didefinisikan pada A sebagai R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (a,c), (a,d), (b,d), (b,c) }. Apakah R sebuah poset? Misalakan R adalah himpunan semua bilangan real. Periksalah apakah (R, ≤) sebuah poset ?