Relasi Logika Matematika

Relasi Suatu relasi R terdiri dari : Sebuah himpunan A Sebuah himpunan B Ungkapan suatu kalimat terbuka P(x, y) di mana P(a, b) adalah benar atau salah untuk sembarang pasangan terurut (a, b) yang termasuk dalam A x B. Maka R adalah suatu relasi dari A ke B : R = (A, B, P(x, y)) Jika P(a, b) benar maka a R b atau R(a, b), dibaca : “ a berhubungan dengan b” atau “a berada di dalam relasi R dg b”. Jika P(a, b) salah maka a R b.

Relasi… Contoh : R = (A, A, P(x, y)) dimana A bilangan-bilangan asli dan P(x, y) berbunyi “y habis dibagi oleh x” maka R adalah suatu relasi. 3 R 12, 5 R 15, 2 R 7. Grafik suatu relasi R dari A ke B terdiri atas titik-titik pada diagram koordinat dari A x B yang termasuk himpunan jawaban dari R.

Grafik relasi 2 3 4 5  6 Contoh : R = (A, B, P(x, y)) A = {2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6} Definisi kalimat terbuka P(x, y) : “y habis dibagi oleh x”. Maka himpunan jawaban dari R adalah : R* = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}

Sifat-sifat relasi Relasi Refleksif R disebut relasi refleksif jika untuk setiap a  A yang dinotasikan (a, a)  A atau a R a. Contoh : A = {1, 2, 3, 4} R = {(1,1), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}, maka R bukan reflleksif karena (2, 2) tidak termasuk dalam R, dimana (a, a) harus termasuk dalam R. Soal : A = {1, 2, 3}, perhatikan relasi-relasi berikut dalam A ! R1 = {(1,2), (3, 2), (2, 2), (2, 3)} R2 = {(1,2), (2, 3), (1, 3)} R3 = {(1, 1), (2,2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} R4 = {(1, 2)} R5 = A x A Manakah yang bersifat refleksif dan yang tidak ?

Sifat-sifat relasi… Relasi Simetris R disebut relasi simetris jika a berhubungan dengan b, maka b juga berhubungan dengan a, yang dinotasikan (a, b)  R, maka berarti (b, a)  R. a R b  b R a; a = b  b = a Contoh : A = {1, 2, 3, 4} R = {(1,3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)}, maka R bukan relasi simetris karena (2, 3)  R tetapi (3, 2)  R. Soal : A = {1, 2, 3}, perhatikan relasi-relasi berikut dalam A ! R1 = {(1,1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3)} R2 = {(1,1)} R3 = {(1, 2} R4 = {(1, 1), (3, 2), (2, 3)} R5 = A x A Manakah yang bersifat simetris dan yang tidak ?

Sifat-sifat relasi… Relasi Anti Simetris Jika (a, b)  R dan (b, a)  R, maka a = b. Jika a  b, bisa saja a R b dan b R a tetapi tidak kedua duanya. a R b  b R a Pada soal di atas, mana yang bersifat antisimetris dan tidak ?

Sifat-sifat relasi… Relasi Transitif R disebut relasi transitif pada himpunan A : jika (a, b)  R dan (b, c)  R maka (a, c)  R atau a R b, b R c  a R c. Contoh : A = {a, b, c} R = {(a, b), (c, b), (b, a), (a, c)} bukan relasi transitif karena (c, b)  R dan (b, a)  R tetapi (c, a)  R. Soal : A = {1, 2, 3}, perhatikan relasi-relasi berikut dalam A ! R1 = {(1, 2), (2, 2) } R2 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (1, 1)} R3 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 2)} R4 = A x A Manakah yang bersifat transitif dan yang tidak ?

Sifat-sifat relasi… Relasi Ekivalen R disebut relasi ekivalen pada himpunan A jika : R adalah refleksif, untuk a  A, (a, a)  R R adalah simetris, jika (a, b)   (b, a)  R R adalah transitif, jika (a, b)  R, (b, c)  R  (a, c)  R Relasi Invers Relasi invers R-1  R-1 = {(b, a)  (a, b)  R Contoh : A = {1, 2, 3} B = {a, b} R = {(1, a), (1, b), (3, a)} adalah relasi A  B. Relasi invers dari R adalah : R-1 = {(a, 1), (b, 1), (a, 3)}.

Latihan

Selamat Belajar