Tujuan Agar mahasiswa dapat menemukan nilai ekstrim dengan derivatif NILAI EKSTRIM FUNGSI Tujuan Agar mahasiswa dapat menemukan nilai ekstrim dengan derivatif
NILAI EKSTRIM SUATU FUNGSI Banyak fungsi ekonomi yg mempunyai nilai ekstrim : maksimum/minimum (mungkin absolut atau relatif) Keuntungan maksimum Utilitas maksimum Biaya minimum, dsb. Salah satu alat utk penentuan nilai ekstrim suatu fungsi “biasa” (bervariabel tunggal) & nonlinier adalah turunan/derivatif fungsi tsb Diskusi: nilai ekstrim fungsi linier tidak dapat diperoleh dari turunan, kenapa?
PROSEDUR PENENTUAN NILAI EKSTRIM Langkah2 utk mendapatkan nilai ekstrim suatu fungsi, sebut y = f(x): Cari turunan pertama dari y, yaitu y’=dy/dx Samakan y’ dengan 0 (nol), yaitu y’ = 0; -> Selesaikan persamaan ini utk mendapatkan nilai x* yg membuat y bernilai ekstrim
PENGUJIAN DENGAN TURUNAN II Cari turunan ke-2, dari y, yaitu y’’ = dy’/dx; masukkan nilai x* (diperoleh dari persamaan y’ = 0) ke turunan II Jika y’’ > 0 berarti y bernilai minimum Jika y” < 0 berarti y bernilai maksimum
CONTOH (1) PENENTUAN NILAI EKSTRIM Fungsi keuntungan (Z) suatu usaha “FM” yg memproduksi barang kerajinan “H” sebanyak Q adalah: Z = - Q3 + 57 Q2 – 315Q – 2000 Berapakah Q agar keuntungan maskimum? Solusi Turunan I : dZ/dQ = Z’ = -3Q2 + 114Q - 315 =0 atau Q2 -38Q + 105 = 0 (Q-35)(Q-3) = 0 => Q1=35; Q2 = 3
CONTOH (1) PENENTUAN NILAI EKSTRIM (lanjutan) Tur. II : Z’’= dZ’/dQ = -6Q + 114; Q1=35 => Z” = -6(35) + 114 = -96 < 0 Q2 = 3 => Z” = -6(3) + 114 = 96 > 0 Jadi utk Q = 35, Z mencapai maksimum. yaitu Z = - (35)3 + 57 (35)2 – 315(35) – 2000 = 13.925; sedangkan utk Q = 3, Z minimum (hitung)
CONTOH (2) PENENTUAN NILAI EKSTRIM Penentuan Biaya Rata2 Minimum Total biaya utk memproduksi Q unit suatu barang: C = 0,2Q2 + 1.500Q + 100.000; Biaya rata2/unit =AC = C/Q = 0,2Q + 1.500 +100.000/Q Berapakah Q agar AC minimum ? d(AC)/dQ = (AC)’ = 0,2 – 100.000/Q2 = 0 Q2 = 500.000 => Q = 707,11 (Q yg negatif tidak mungkin)
CONTOH (2) PENENTUAN NILAI EKSTRIM lanjutan Pengujian dg turunan II (AC)” = 200.000/Q3 = 200.000/(707,11)3 = 0,00056 > 0; Jadi utk Q = 707,11; nilai AC minimum - yaitu: AC = 0,2(707,11) + 1.500 +100.000/(707,11) = 1.782,84