MATEMATIKA DASAR 1B Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id

LIMIT DAN KONTINUITAS FUNGSI 1. Limit Barisan Definisi : Bilangan-bilangan c1, c2, c3, …, cn disebut barisan bilangan tak hingga. Cn disebut suku umum dari barisan. Bilangan n , ( n = 1, 2, 3, … ) adalah nomor urut atau indeks yang menunjukkan letak bilangan tersebut dalam barisan. Catatan : Suku umum dari barisan, yaitu Cn merupakan suatu fungsi dari n atau Cn = f (n) Contoh : Barisan : 1 , ½ , 1/3 , ¼ …..suku umumnya adalah 1/n. Kita dapat menyebut barisan diatas sebagai barisan Cn = 1/n Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id

Sifat-sifat Limit Barisan : Bila Lim Cn = L dan Lim dn = m , maka : n n 1. Lim ( Cn + dn ) = Lim Cn Lim dn = L m n n n 2. Lim ( Cn . dn ) = ( Lim Cn ) ( Lim dn ) = L . M n n n 3. Lim 1 / Cn = 1/ Lim Cn = 1 / L n n Bila semua suku Cn 0 dan L 0 4. Lim dn / Cn = ( Lim dn ) / ( Lim Cn ) = m / L n n n Bila semua suku Cn 0 dan L 0 5. Lim (Cn )P = ( Lim Cn )P = LP n n Untuk sembarang P bilangan riil dan LP = ada . 6. Lim PCn = PLim Cn = PL n n Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id

Limit Barisan Istimewa Contoh Soal : 1. Lim n n2 2n + 2 = Lim 1 n 2/n2 + 2/n2 = 1=0  2. Lim 1 + 2 + 3 + … + n = Lim ½ n ( 1 + n ) = Lim ½ n + ½ n = Lim 1/2n + ½ = 0 + ½ = 1/2 n n2 n n2 n n2 n 1 3. Lim n2 – 2n – 1 = Lim 1 – 2/n – 1/n n 2n2 + n + 3 n 2 + 1/n + 3/n2 4. Lim n2 + 1 = Lim 1/n + 1/n = = 0 =1 2 n n3 – 1 n 1 – 1/n3 1 Limit Barisan Istimewa 1. Lim ( 1 + 1/n )n = e n Menggunakan “ Binomium Newton “ 2. Lim ( 1 + n )1/n = e Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id

2. Limit Fungsi Definisi : Suatu fungsi riil y = f (x) dikatakan mempunyai limit 1pada x = a , bila untuk sembarang bilangan  > 0 ( Bagaimana pun kecilnya ) terdapat bilangan > 0 , sedemikian sehinggaf (x) – 1< untukx – a < . Catatan : Dengan cara yang sama , di dapat pengertian – pengertian yang lain seperti : Lim f (x) = 1 berarti f (x) 1 bila x x Lim f (x) = 1 berarti f (x) 1 bila x - x Atau ditulis sebagai Lim f (x) = 1 x Lim f (x) = + berarti f (x) + bila x a , dapat dikatakan limitnya tak ada, atau xa mempunyai limit yang tak sebenarnya + . Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id

Sifat-sifat Limit Fungsi : Lim g (x) = m , a sebarang bilangan riil, boleh -, + xa Bila Lim f (x) = L dan xa 1. Lim k f (x) = k Lim f (x) = k L ( k adalah sebarang bilangan riil ) xa xa 2. Lim ( f (x) g (x) ) = Lim f (x) Lim g (x) = L m xa xa xa 3. Lim f (x) g (x) = Lim f (x) Lim g (x) = L m xa xa xa 4. Lim f (x)n = ( Lim f (x) )n = Ln , n bilangan asli xa xa 5. Lim 1 / g (x) = 1/ Lim g (x) = 1 / m , bila m 0 xa xa 6. Lim f (x) / g (x) = ( Lim f (x) ) / ( Lim g (x) ) = L / m, bila m 0 xa xa xa n n n n 7. Lim f (x) = Lim f (x) = 1, asalakan 1 suatu bilangan riil xa xa 8. Lim Ln f (x) = Ln Lim f (x) = Ln L xa xa Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id

Beberapa Limit Fungsi Yang Istimewa : 1. Lim Sin x = 1 x0 x Bukti : Lim Sin x = Lim Cos x = Cos 0 = 1 x0 x x0 2. Lim Tg x = 1 x0 x Lim Tg x = Lim Sin x = Lim Sin x . Lim 1 =1 . 1=1 x0 x x0 x Cos x x0 x x0 Cos x 3. Lim ( 1 + 1/x ) x = e x 4. Lim ( 1 + x ) 1/x = e x0 5. Lim ln ( 1 + x ) = 1 x0 x Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id

Contoh Soal : Hal. 161 & 165 x x2 - 2x + 3 1. Lim 2x - 4 = 2 (2) – 4 = 0 = 0 x2 x + 3 2 + 3 5 2. Lim x2 + 2x - 3 = Lim 1 + 2/x - 3/x2 = 1 = 1 x x2 - 2x + 3 3. Lim x2 – 1 = 1 – 1 = 0 = 0 x 1 - 2/x + 3/x2 1 x1 x+1 1+2 3 4. Lim x2 – 3x = Lim 2x – 3 = 2 (3) - 3 = 3. x3 x3 - 2x2 - 2x - 3 x3 3x2 - 4x - 3 3 (9) – 4 (3) – 2 13 5. Lim ( x + h )2 - x2 = Lim ( x2 + 2hx + h2 ) – x2 = Lim 2x + h = 2x + 0 = 2x h0 h h0 h h0 6. Lim 1 – Cos x = Lim Sin x = Lim Cos x = Cos 0 = 1 x0 3x2 x0 6x x0 6 6 6 7. Lim arc tg x = Lim 1 / ( 1 + x ) = 1 x0 x x0 1 Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id

3. Kontinuitas Fungsi Asimtot Definisi : Sebuah fungsi y = f (x) dikatakan kontinu pada x = a , jika untuk suatu bilangan < 0 , dapat ditemukan bilangan > 0 sedemikian ehinggaf (x) – f (a) < untukx – a < . Dengan perkataan lain : f (x) kontinu pada x = a bila ke-3 syarat – syarat dibawah ini terpenuhi : (1) f (a) terdefinisi ; (2) Lim f(x) ada ; xa (3) Lim f (x) = F (a) xa Di dalam hal lain f (x) disebut diskontinu ( tidak kontinu ) , Asimtot Asimtot Datar y = Lim f (x) = a x Asimtot Tegak y = Lim f (x) = xa Asimtot Miring y = ax2 + bx + c ; a, p 0 px + q Muchsin, ST, MT Ismail http://www.mercubuana.ac.idhttp://www.mercubuana.ac.idhttp://www.mercu

Contoh Soal : 1. y = 3x + 25 x+5 Jawab :  y = Lim 3x + 25 = Lim 3 + 25/x = 3 Asimtot Datar x x+5 x 1 + 5/x  x + 5 = 0 x=-5 Asimtot Tegak Titik potong sb x x = 0 3x + 25 = 0 x = - 25/3 ( -25/3 , 0 ) Titik potong sb y x = 0 , y = 3 (0) + 25 = 5 ( 0, 5 ) 0+5 Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id

Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id