Proses Stokastik (PS Matematika FMIPA UB, MAM 4816, 3 sks, P) Pertemuan ke-3/7 Dr. Adji Achmad RF, S.Si, M.Sc Statistika, FMIPA, Universitas Brawijaya Malang

Fungsi Linier Peubah Acak Untuk dua peubah acak X dan Y berlaku: Jika X dan Y saling bebas, maka: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Fungsi Pembangkit Moment (Moment Generating Function) Definisi untuk Y PA Diskrit: Definisi untuk Y PA Kontinyu: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat khusus fungsi pembangkit moment Bukti: Pada t =0 Definisi nilai harapan DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Secara umum: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran – sebaran Penting Diskrit Bernoulli Binomial Geometrik Poisson Kontinyu Uniform Exponential Gamma Normal DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran Bernoulli “Pelemparan satu koin” atau percobaan dengan hasil hanya yang bersifat biner (misal: sukses dan gagal) Yang diamati peubah X: X=1 untuk sukses dan X=0 untuk gagal. Fungsi frekuensi peluang dari X adalah P(0) = P(X=0) = 1-p P(1) = P (X=1) = p Yang secara umum: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran Bernoulli Sifat-sifat: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran Binomial “Pelemparan n kali koin” dengan peluang sukses p Berupa n kali percobaan Bernoulli Yang diamati adalah peubah X: Jumlah kesuksesan Fungsi frekuensi peluang: Adalah n kali dari setiap sifat dari sebaran Bernoulli DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran Geometri “pelemparan koin” denga peluang sukses p Yang menjadi pengamatan adalah peubah X: Jumlah pelemparan sampai diperolehnya sukses yang pertama Dengan fungsi frekuensi peluang: Dengan sifat umum: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran Poisson Yang diamati adalah peubah X: “Terjadinya even yang langka” dengan  = rata-rata terjadinya even dalam satu periode (waktu, luas, jarak) Yang diamati adalah peubah X: Jumlah kejadian di dalam periode yang bersesuaian Contoh: jumlah kesalahan ketik pada satu halaman buku Adalah limit dari sebaran binomial untuk n →∞, p →0 Pada contoh: n adalah jumlah huruf dalam satu buku dan peluang salah ketik yang cukup kecil DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran Poisson Fungsi frekuensi peluang: Dengan sifat-sifat: Sebaran diskrit yang istimewa yang menjadi asumsi dari beberapa model stokastik diskrit DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran Uniform (Seragam) Nilai pengamatan X mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi pada interval (a,b) a b Dengan sifat-sifat: DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran Eksponensial Peubah X yang non-negatif dengan kemungkinan terbesar terjadi pada nilai yang dekat dengan nol Biasa digunakan untuk memodelkan fenomena yang berhubungan dengan waktu Mis: Laju kerusakan/Reliabilitas Mempunyai sifat memoryless, sifat istimewa yang diperlukan dalam beberapa model stokastik Continuous Time Markov Chain DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran Eksponensial f(x) x DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat Tanpa Ingatan (Memoryless Property) sebaran Eksponensial Jika digunakan untuk memodelkan umur suatu barang (lifetime) Definisi memoryless property: Peluang produk berfungsi baik untuk x waktu ke depan bagi produk yang sudah berumur t dan produk baru adalah sama secara statistik DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran Gamma X adalah peubah acak non negatif yang tergantung pada dua parameter, α>0, dan λ>0 Ketika parameter α adalah bilangan integer, maka X adalah jumlah dari α sebaran eksponensial, masing-masing dengan parameter λ DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sebaran Normal Sebaran yang paling banyak digunakan sebagai asumsi X menyebar mengikuti sebaran dengan bentuk seperti genta Dari teorema limit pusat (central limit theorem): Sebaran dari jumlah n peubah yang saling bebas dan menyebar secara sama (iid) mendekati sebaran normal untuk n →∞ DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Peluang Bersyarat Kasus peubah diskrit: Dengan hukum peluang total Definisi peluang bersyarat Sifat peluang marjinal

Contoh penggunaan Apa sebaran marjinal bagi X? Gunakan hukum peluang total Binomial Poisson

Dengan deret Taylor:

Peluang Bersyarat Kasus peubah kontinyu Dengan hukum peluang total Definisi peluang bersyarat Sifat peluang marjinal

Contoh penggunaan Apa sebaran marjinal bagi X? Gunakan hukum peluang total Binomial Uniform

Fungsi Beta

Contoh Terapan Peubah acak N merupakan jumlah angka pada sisi dadu yang menghadap ke atas ketika dilakukan pelemparan. Dilakukan suatu percobaan berikut: Dadu dilempar sekali, dan diamati jumlah angka pada sisi dadu yang menghadap ke atas. Misalkan diperoleh jumlah angka sebesar N maka dilakukan percobaan berikutnya, pelemparan koin sebanyak N kali. Dari pelemparan N kali koin tersebut, diamati X: jumlah Gambar dari N kali lemparan tersebut.  Berdasarkan sifat peluang bersyarat, hitunglah peluang diperolehnya 2 gambar pada pelemparan koin dan jumlah angka 3 pada sisi dadu yang menghadap ke atas! Berdasarkan hukum peluang total, berapa peluang bahwa akan diperoleh 5 angka pada percobaan pelemparan koin?

Nilai Harapan Bersyarat (Conditional Expected Value) Definisi nilai harapan X dengan syarat Y=y: Berdasarkan hukum peluang total: Berlaku hal yang sama untuk kasus peubah kontinyu

Contoh terapan Random Sums: Proses Antrian Teori Resiko Model populasi

Teori Antrian N sebagai jumlah pelanggan yang datang pada fasilitas layanan pada selang waktu tertentu (Peubah acak) ξi adalah waktu layanan yang dibutuhkan oleh pelanggan ke-i, Maka total kebutuhan waktu layanan adalah:

Teori Resiko N sebagai jumlah klaim yang diterima suatu perusahaan asuransi pada suatu minggu (peubah acak). ξi adalah jumlah yang harus dibayarkan untuk klaim ke-i, Maka total liability (hutang) dari perusahaan asuransi tersebut adalah:

Model Populasi N sebagai jumlah tanaman spesies tertentu pada suatu daerah (peubah acak). ξi adalah jumlah biji yang dihasilkan oleh tanaman ke-i, Maka total biji yang diproduksi di daerah tersebut adalah:

Pada Random Sums terdapat dua peubah, X dan N di mana N selalu berupa peubah diskrit Jika X juga peubah diskrit, sifat sebaran bersyarat seperti biasa dapat diterapkan Jika X peubah kontinyu maka digunakan definisi fungsi sebaran bersyarat pada kasus mixed

Sebaran Bersayarat: the mixed case X dan N peubah acak yang mempunyai sebaran gabungan N bersifat diskrit Fungsi sebaran bersyarat bagi X dengan syarat N=n: Untuk X peubah kontinyu, maka berlaku:

Fungsi tersebut dapat digunakan untuk menghitung peluang: Memperoleh fungsi peluang marjinal bagi X dengan hukum peluang total: Nilai harapan bersyarat

Nilai harapan berdasarkan hukum peluang total: Sifat-sifat tersebut digunakan untuk menurunkan moment dari Random Sums

Momen-momen bagi Random Sums E[k] = , Var [k] = 2 E[N] =  Var [N] = 2 Nilai harapan dari Random Sums:

Karena X dan N saling bebas: Sifat nilai harapan Nilai harapan N

Ragam dari Random Sums: Bukti ada di Buku Taylor & Karlin

Contoh 1: Jika: Maka:

Contoh 2: Didefinisikan peubah acak N sebagai jumlah kecelakaan dalam 1 minggu, yang menyebar secara Poisson dengan rata-rata 2. Diasumsikan bahwa peubah acak jumlah korban di setiap kecelakaan ke – i, menyebar secara bebas dan indentik pada sebaran tertentu dengan, rata-rata 3 dan ragam 4 Berdasarkan konsep random sums tentukan rata-rata dan ragam dari total jumlah korban kecelekaan pada satu minggu tersebut!