Geometri Non-Euclidean GEOMETRI RIEMANN
Pengacuan dalam ruang Non-Euclidean Tinjau: Ruang metrik: Bidang singgung P
Di dapat didef’kan sistem vektor basis, sehingga Yang berarti Merupakan tangen (singgungan) di M pada setiap kurva
Untuk perubahan di titik dekat sebarang, terdapat korespondensi: Dan didapat:
Kita dapat menentukan hubungan titik-titik dekat dari ruang Euclidean singgung di M dan di M’ bila kita mengetahui pernyataan koefisien Koefisien tersebut menentukan koneksi affine dari ruang metrik non-Euclidean
Dipenuhi: dalam ruang singgung. Dan: Namun:
Secara umum:
Jika sama: Bebas torsi: Tidak hanya menyinggung, tetapi juga tertutup
Memberikan: Koneksi dari suatu ruang non-Euclidean akan tertutup di setiap titik pada ruang singgung dan bebas torsi, yang sama dengan simbol Christoffel
Transpor Paralel
Turunan Kovarian Kesebandingan perubahan: atau Transpor paralel: Vektor baru:
Menghasilkan: Dst:
Perpindahan Vektor sepanjang lintasan tertutup
Tinjau ABCDA dalam ruang singgung A = Ao: B b C c D d Diperiksa sampai orde pertama dalam
Torsi: Geometri Riemann-Cartan Geometri Riemann
Ruang memiliki curvature:
Evaluasi:
Memberikan:
Dengan: Riemann-Christoffel Curvature Tensor
Sifat-sifat
Simetrik Antisimetrik Permutasi siklik
Tensor Ricci Dan simetrik
Kurvatur skalar: Identitas Bianchi: