ALJABAR LINEAR KOMBINASI LINEAR, MERENTANG AFLICH YUSNITA FITRIANNA, M.Pd. STKIP SILIWANGI BANDUNG

Kombinasi Linear Vektor v dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor bila bisa dinyatakan sebagai : Dengan = skalar. Contoh: Andaikan s, u, v, w V; dengan: Jika mungkin nyatakan v sebagai kombinasi linear dari u, s dan w!

Solusi

Maka diperoleh persamaan: Selesaikan persamaan di atas menggunakan Operasi Baris Elementer(OBE) Sehingga diperoleh persamaan baru: Dari persamaan baru diperoleh: Sehingga diperoleh kombinasi linear: -2u+s+w

RENTANG Teorema 1 Jika v1, v2, …, vr adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V, maka: Himpunan W semua kombinasi linear dari v1, v2, …, vr merupakan suatu subruang dari V. W adalah subruang terkecil dari V yang berisi v1, v2, …, vr dalam pengertian bahwa setiap subruang lain dari V yang berisi v1, v2, …, vr pasti mengandung W.

Definisi Jika S= {v1, v2, …, vr } adalah suatu himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka subruang W dari V yang mengandung semua kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S disebut ruang terentang oleh v1, v2, …, vr, dan kita katakan bahwa vektor-vektor v1, v2, …, vr adalah rentang W. untuk menunjukkan bahwa W adalah ruang terentang oleh vektor-vektor dalam himpunan S= {v1, v2, …, vr } dituliskan: W=rent(S) atau W= rent {v1, v2, …, vr }

Teorema 2 Jika S={v1, v2, …, vr } dan S’= {w1, w2, …, wr } adalah dua himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka rent {v1, v2, …, vr }=rent {w1, w2, …, wr } jika dan hanya jika setiap vektor dalam S adalah suatu kombinasi liner dari vektor-vektor dalam S’ dan sebaliknya setiap vektor dalam S’ adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S.

Contoh Tentukan apakah v1 = (1,1,2), v2 = (1,0,1) v3 = (2,1,3) merentangkan ruang vektor R3 Penyelesaian Harus ditentukan apakah suatu vektor sembarang b=(b1,b2,b3) dalam R3 dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor v1, v2, v3 Maka didapat: atau

Sehingga diperoleh persamaan: Persamaan diselesaikan menggunakan OBE, Terdapat baris 0 pada matriks setelah direduksi, sehingga ada vektor di R3 yang bukan merupakan kombinasi linear dari v1, v2, v3. . Jadi v1, v2, v3 tidak membangun R3.

Latihan Diketahui tunjukkan bahwa s merupakan kombinasi linear dari u, v dan w. 2. Nyatakan p1=6+11x+6x2 sebagai kombinasi linear dari p2=2+x+4x2 , p3= 1-x+3x2 , p4= 3+2x+5x2 3.. Pada setiap bagian tentukan apakah vektor-vektor yang diberikan merentangkan R3 . a. v1 =(2,2,2) v2 = (0,0,3) v3 =(0,1,1) b. v1 =(2,-1,3) v2 = (4,1,2) v3 =(8,-1,8)