PERSAMAAN NON –LINIER Pengantar dan permasalahan persamaan Non-Linier Sumarni Adi, S.Kom., M.Cs S1 Teknik Informatika STMIK Amikom Yogyakarta

Pengantar Persamaan linier sudah kita kenal sejak SMP. Contoh kasus : Ongkos naik taksi diberlakukan dengan sistem biaya buka pintu Rp.10.000 dan biaya jarak tempuh dgn tarif Rp. 5.000 setiap kilometernya. Bila seseorang naik taksi menghabiskan 50.000. berapa kilometer jarak yg ditempuh org tsb ? Kasus ini dpt diselesaikan dgn persamaan linier satu variabel, dgn X sbg jarak tempuh ( dlm Km), menjadi : 5000x + 10000 = 50000 ; x = 40000 / 5000 = 8 Km. Jadi nilai x yg memenuhi persamaan ini disebut penyelesaian atau akar persamaan. Persamaan yg bentuknya SELAIN dari persamaan pd kasus di atas disebut persamaan NON – LINIER Contoh persamaan Non-linier diantaranya persamaan kuadrat, persamaan trigonometri dan persamaan logaritma atau eksponen Persamaan non-linier merupakan operasi matematik yang terdiri dari angka dan variabel dimana akar sebuah persamaan f(x) = 0. dengan kata lain, akar persamaan f(x) adalah titik potong antar kurfa f(x) dan sumbu X Contoh persamaan non-linier : 2x-3 = 0 x²-4x-5 = 0 Sin x – 2 = 0

1. Persamaan kuadrat Jika ada persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yang agak rumit mencari akar-akarnya maka bisa menggunakan rumus ABC : X₁₂ = Tapi bagaimana ketika ada persamaan seperti ini dan diminta mencari akar-akarnya : Dari permasalahan ini kemudian perlu adanya metode numerik untuk menyelesaikannya

2. Metode Bisection (Metode Bagidua) Metode bisection merupakan cara yg paling sederhana untuk mengaproksimasi akar persamaan Non-Linier. Caranya : Metode ini dimulai pd suatu interval yg memuat akar, kemudian membagi menjadi 2 bagian yg sama panjang, kemudian mempertahanakan subinterval yg memuat akar dan membuang subinterval yg tdk memuat akar. proses ini dilakuakan terus menerus sampai subinterval menjadi sangat sempit dan diperoleh barisan interval bersarang yg kesemuanya memuat akar

2. Metode Bisection (Metode Bagidua) Bila f (p1) = 0 maka akarnya adalah p1 tapi bila f (p1) ≠ 0 maka f (p1) memunyai tanda positif atau negatif Karena f(a1) ≠ 0 maka pasti berlaku salah satu, yaitu : f (p1) f(a1) < 0 maka akrnya pasti terletak pd subinterval [a1,p1], sehingga harus diambil a2 = a1 dan b2 = p1 f (p1) f(a1) > 0 maka akarnya pasti terletak pd subinterval [p1,b1], sehingga harus diambil a2 = p1 dan b2 = b1

2. Metode Bisection (Metode Bagidua) Skema Metode Bagidua a1 akar eksak p1 = 1/2(a1+b1) b1 = b a2 p2 = 1/2(a2+b2) b2 = b a3 p3 = 1/2(a3+b3) b3 = b a4 p4 = 1/2(a4+b4) b4= b a5 b5

Algoritma Metode Bisection Mulailah dgn interval yg memuat akar (a,b) Ambil a1 : = a dan b1 : = b Untuk n = 1, 2,…, bangunlah barisan (pn), (an+1) dan (bn+2) sbb: pn = 1/2(an+bn) dan an+1 = an, bn+1 = pn bila f(an) f (bn) < 0 an+1 = pn, bn+1 = bn bila f(an) f (bn) > 0

Contoh 3x³+ 2x + 2 Caranya : Tentukan niali a dan b yg memuat akar.perhatikan interval (1,- 2) diperoleh : f(1) = 3.(1)³ + 2.1 +2 = 7 > 0 f(-2) = 3.(-2)³ + 2.(-2) +2 = -24 < 0 (Nilai 1 dan -2 “sah” Karena dimasukkan ke persamaan yang satu bernilai positif dan satunya bernilai negatif ) Aproksimasi 1 : ambil a1 = 1 dan b1 = -2 dan p1 = -1/2 f(p1) = 3.(-1/2)³+2.(-1/2)+2 = 0,625 >0 karena f(a1).f(p1) > 0 maka a2 = p1 = -1/2 dan b2 = b1 = -2 Lakukan aproksimasi berikutnya seperti langkah 2 sampai mendapatkan nilai yang mendekati 0

Contoh : Tentukan akar dari X² - 4sinx = 0 Intervalnya : [1;2] f(1) = (1)² - 4 sin 1 = -2,3659 < 0 f(2) = (2)² - 4 sin 2 = 0,3628> 0 (Nilai 1 dan 2 “sah” Karena dimasukkan ke persamaan yang satu bernilai positif dan satunya bernilai negatif ) Aproksimasi 1 : Langkah 1 : ambil a1 = 1 dan b1 = 2 dan p1 = (1+2)/2 = 1,5 Langkah 2 : periksa lokasi akar f(p1) = f(1,5)= (1,5)² - 4sin 1,5 = -1,7400 <0 karena f(a1)f(p1) > 0 maka yang menjadi a2 = p1 dan b2 = b1 Langkah 3 : tetapkan interval a2 = 1,5 dan b2 = 2 Aproksimasi 2 : Langkah 1 : ambil a2 = 1,5 dan b2 = 2 dan p2 = (1,5+2)/2 = 1,75 Langkah 2 : periksa lokasi akar f(p1) = f(1,75)= (1,75)² - 4sin 1,75 = -0,8734 <0 karena f(a2)f(p2) > 0 maka yang menjadi a3 = p2 dan b3 = b2 Langkah 3 : tetapkan interval a3 = 1,75 dan b3 = 2 Dilanjutkan terus sampai mendekati 0 yaitu pada kasus ini terdapat pada aproksomasi ke 6 (Hasilnya ditunjukkan pada tabel)

akar dari X² - 4sinx = 0 n an Bn Pn f(pn) f(an) f(an)f(pn) 1 1,0000 2,0000 1,5000 -1,7400 -2,3659 + 2 2,000 1,7500 -0,8734 3 1,8750 -0,3007 4 1,9375 -0,0198 - 5 1,9063 -0,1433 6 1,9219 -0,0624 Disini kita ambil p6 = 1,9219 sebagai aproksimasi akarnya, karena f(p6) = -0,0624 yang cukup dekat dengan Nol

2. Metode Regulasi Falsi Cara kerja metode ini hampir sama dengan metode bisection, langkahnya : Mulailah dengan interval [a, b] yg memuat akar f(x) = 0 Ambil a1 : = a dan b1 : = b Untuk n = 1, 2,…, bangunlah barisan (pn), (an+1) dan (bn+2) sbb: dan an+1 = an, bn+1 = pn bila f(an) f (bn) < 0 an+1 = pn, bn+1 = bn bila f(an) f (bn) > 0

Contoh : Tentukan akar dari (X³-4x²+x+1)sin 3x = 0 Intervalnya : [2;3] f(2) = (2³-4.2²+2+1) sin 3.2 = 1,3971 > 0 f(3) = (3³-4.3²+3+1) sin 3.3 = -2,0606 < 0 (Nilai 2 dan 3 “sah” Karena dimasukkan ke persamaan yang satu bernilai positif dan satunya bernilai negatif ) Aproksimasi 1 : ambil a1 = 2, b1 = 3, f(a1) = 1,3971 , dan f(b1) = -2,0606 Diperoleh p1 = b2 – f(b2)(b2-a2) = 3 – (-2,0606.(3-2)) = 2,4041 f(b2) – f(a2) -2,0606 - 1,3971 P1 = 2,4041 Aproksimasi 2 : cek posisi akar Karena f(p1) = f(2,4041) = -4,6616 maka f(a1)f(p1) = 1,3971. (-4,6616) < 0 jadi akarnya adalah a2 = a1 = 2 dan b2 = p1 = 2,4041 P2 = b2 – f(b2)(b2-a2) = 2,4041 – (-4,6616 .(2,4041 -2)) = 2,0932 f(b2) – f(a2) -4,6616 - 1,3971 P2 = 2,0932 F(P2) = 0,0191 Pada aproksimasi kedua, akar sudah cukup akurat karena f(p2) = 0,0191

Mari kita bandingkan kinerja metode bisection dgn regulasi falsi X² - 4sin x = 0 ( = 0

3. Metode Newton Metode ini merupakan metode yg paling populer, karena secara umum kekonvergenannya lebih cepat dari metode lainnya dan implementasinya sederhana Pada metode ini hanya dibutuhkan satu titik awal untuk membuat garis tangen Misalkan p0 titik awal yg dipilih maka p1 diambil sbg absis titik potong garis singgung kurva y = f(x) dititik (p0,f(p0)). Selanjutnya, melalui titik (p1,f(p1)) dibuat garis singgung untuk mendapatkan p2

Algoritma metode Newton Mulailah dgn aproksimasi awal x0 sebarang Untuk n = 1, 2, …, hitunglah nilai f’ (pn-1). Bila f’(pn-1) ≠ 0, maka :

Hitunglah aproksimasi akar persamaan X³ + 4X² - 10 = 0 dgn menggunakan metode newton f(x) = X³ + 4X² - 10 = 0 f’(x) = 3X² + 8X Untuk memeriksa akar, kita lihat f(1) < 0 dan f(2) > 0 sehingga f(1)f(2) < 0. Karena fungsi ini terletak pada interval (1;2) pasti memuat minimal 1 akaranya, mari kita coba p0 = 1,5. Aproksimasi 1 : p0 = 1,5 ; f(p0) = 2,375 dan f’(p0) = 18,750, diperoleh aproksimasi pertamanya adalah : p1 = 1,5 - 2,375 = 1,3733 18,750 Aproksimasi 2 : p1 = 1,3733 ; f(p1) = 0,1338 dan f’(p0) = 16,6443, diperoleh : p2 = 1,3733 - 0,1338 = 1,3653 16,6443 Aproksimasi ketiga dapat dikerjakan sejalan seperti sebelumnya dan akan diperoleh p3 = 1,3652. aproksimasi ketiga inisudah cukup akurat karena nilai f(p3) = 0,0004956

4. Metode Secant Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik.  f’ (X) =( f (Xn) – f (Xn-1)) / (Xn – Xn-1)   Xn+1 = Xn – ( (f(Xn) (Xn – Xn-1) / ( f(Xn) -f(Xn-1) ) Tujuan dan Fungsi Tujuan metode secant adalah untuk menyelesaikan masalah yang terdapat pada metode Newton-Raphson yang terkadang sulit mendapatkan turunan pertama yaitu f‘ (x). Fungsi metode secant adalah untuk menaksirkan akar dengan menggunakan diferensi daripada turunan untuk memperkirakan kemiringan/slope.

Algoritma Metode Secant Definisikan fungsi F(x) Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n) Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1,sebaiknya          gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1 Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xn)|      Xn+1 = Xn – (Yn (Xn – Xn-1) / Yn – Yn-1)) Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir

Hitunglah aproksimasi akar persamaan X3+X2-3X-3 = 0 dimana  x1 = 1 dan x2 = 2 dgn menggunakan metode Secant Jawaban : X1 = 1 ; f(1) = (1)³+(1)²-3.(1)-3 = -4 X2 = 2 ; f(2) = (2)³+(2)²-3.(2)-3 = 3 Aproksimasi 1 : Xn+1 = Xn – Yn (Xn – Xn-1 / Yn – Yn-1) X3 = x2 –f(x2) (x2-x1/f(x2)-f(x1)) = 2- 3(2-1)/3-(-4)) x3= 1,57142 f(1.57142) = -1.36449 Aproksimasi 2 : X4 = x3 – f(x3) (x3-x2/f(x3)-f(x2)) = 1,57142 – (-1.36449)(1,57142-2)/ -1.36449 – 3 X4 = 1,70540 F(1,70540) = -0.24774 Lanjutkan terus sampai mendapatkan f(xn) = 0 atau mendekati 0. Untuk kasus ini sampai pada aproksimasi ke -7.berikut ringkasan tabelnya

X3+X2-3X-3 = 0 dimana x1 = 1 dan x2 = 2 dgn menggunakan metode Secant xn f (xn) xn – xn-1 f (xn) – f (xn-1) 1 -4 - 2 3 7 1,57142 -1,36449 -0,42858 -4,36449 4 1,70540 -0,24774 0,13398 1,11675 5 1,73514 0,02925 0,02974 0,27699 6 1,73200 -0,00051 -0,00314 -0,02976 1,073205 Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-7 Karena nilai f(x7) = 0, sehingga ditemukan salah satu akarnya = 1,073205