SISTEM KOORDINAT KUTUB Sebelumnya kita kenal koordinat cartesius dimana titik P (x,y) Terlihat pada gambar berikut: Selain itu kita kenal koordinat kutub dengan titik P (r , θ ) sesuai dengan gambar berikut:

Dimana r = jari-jari lingkaran θ = sudut yang dibentuk oleh sinar dan sumbu kutub θ bernilai 0 - 2π r dapat bernilai negatif Contoh titik-titik pada koordinat kutub:

Bentuk kurva dari persamaan :

Contoh persamaan kutub :

Hubungan Koordinat Cartesius dengan Koordinat Kutub Bentuk grafiknya : Persamaan : - Kutub ke cartesius - Cartesius ke kutub Contoh: Tentukan koordinat Cartesius yang bersesuaian dengan (4,π/6) dan koordinat kutub yang bersesuaian dengan (-3,√3) Peny :

Tunjukkan bahwa grafik dari adalah sebuah lingkaran dan bahwa grafik dari adalah sebuah parabola dengan mengubahnya menjadi koordinat cartesius. Peny : Ini adalah persamaan lingkaran berjari-jari 4 dan titik pusat di ( 0,4 ) Untuk pers

Maka : Persamaan parabola terbuka ke kanan dengan verteks (-1,0) dan fokus di titik asal. Persamaan Kutub untuk Garis, Lingkaran dan Irisan Kerucut Garis Dimana P (r ,θ ) sebarang titik di garis maka :

dimana fokusnya di titik kutub dan Lingkaran Dimana Berdasarkan hukukm cosinus maka : Irisan Kerucut ( parabola, elips dan hiperbola) dimana fokusnya di titik kutub dan direktrinya sejauh d

Persamaan | PF | = e | PL | akan menjadi: Irisan kerucut horizontal pers: Irisan kerucut vertikal pers:

Contoh soal: Tentukan persamaan elips horizontal dengan eksentrisitas ½, fokus diitik kutub dan direktris vertikal 10 satuan di sebelah kanan titik kutub. Peny: Persamaan elips Tentukan eksentrisitas dan direktris dari persamaandi bawah ini : Peny:

Dari persamaan di atas didapat: e =1 dan d = 2 maka kurva yang terbentuk adalah parabola horizontal terbuka ke kiri. Namakan irisan kerucut dan dapatkan eksentrisitas dan direktrisnya: Peny: dimana e =1/4 dan d =6 maka kurvanya adalah elips horizontal

Diskusi: Tentukan persamaan cartesius: ; dan Namailah kurva berikut dan tentukan eksentrisitasnya dan sketsa grafiknya: ; dan Buktikan bahwa merepresentasikan sebuah lingkaran dan tentukan pusat dan jari-jarinya.

Grafik Persamaan Kutub Grafik yang kita kenal meliputi : kardioid, limakon, lemniskat, rose, spiral. Unsur simetris: Simetris sumbu x Simetris sumbu y

Simetris terhadap titik asal Kurva Kutub Khas Lingkaran dan

Kardioid dan Limakon dan a = b kardioid Grafik ini simetris terhadap sumbu x example: Tunjukkan persamaan dalam bentuk grafik

Karena cosinus adalah sebuah fungsi genap Tabel yang diberikan: Karena cosinus adalah sebuah fungsi genap maka grafik bersifat simetrik terhadap sumbu x. Lemniskat (angka delapan) dan contoh : θ π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π r 4 3,73 3 2 1 0,27 θ π/12 π/6 π/4 r ±3 ±2,8 ±2,12

Mawar mempunyai mahkota bunga n = ganjil maka n mahkota bunga Mawar (Rose) dan Mawar mempunyai mahkota bunga n = ganjil maka n mahkota bunga n = genap maka 2n mahkota bunga contoh: Θ π/12 π/6 π/4 π/3 5π/12 π/2 7π/12 2π/3 r 4 3,46 2 -2 -3,46 -4 3π/4 5π/6 11π/12 π 2 3,46 4

Spiral Terbagi atas: Spiral Archimedes Spiral Logaritmik Contoh : Memotong sumbu kutub (0,0);(2π,2π);(4π,4π) Memotong perpanjangan di kiri (π,π);(3π,3π);(5π,5π)

Luas Daerah Kurva (Koordinat Kutub) Berdasarkan sektor dari sebuah lingkaran Luas lingkaran = Luas suatu sektor dengan sudut pusat θ Maka luas dari kurva tersebut :

Contoh soal: Tentukan luas daerah di dalam kardioid Peny : Dari grafik θ bervariasi 0 – 2π Berdasarkan faktor simetris kita dapat menggandakan integral dari 0 – π, maka :

Sketsa dan dapatkan luas dari satu mahkota Peny : Simetri terhadap sumbu y maka: Luas dari mawar satu mahkota adalah : θ π/12 π/6 π/4 π/3 5π/12 π/2 r 2√2 4 -2√2 -4

Tentukan luas daerah di luar kardioid dan di dalam lingkaran Peny: Mencari titik potong dikuadratkan dan Luas dari kurva yang diarsir: