P. XIV RUANG-RUANG VEKTOR EUCLIDEAN Operasi-operasi linear yang paling penting pada R2 dan R3 diantaranya adalah operasi-operasi yang menghasilkan pencerminan, proyeksi, dan rotasi. Operator-operator Pencerminan Jika kita anggap w = T (x), maka persamaan yang menghubungkan komponen-komponen x dan w adalah: w1 = -x = -x + 0y w2 = y = 0x + y Persamaan linear y atau dalam bentuk matriks, (-x, y) (x, y) w 1 1 0x w2 0 1y w x x Dengan demikian, matriks standar untuk T adalah:  1 0  0 1 Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan setiap vektor ke bayangan simetrisnya terhadap suatu garis atau bidang disebut “Operator Pencerminan”. Tabel 2 http://www.mercubuana.ac.id Operator Ilustrasi Persamaan Matriks Standar Pencerminan terhadap sumbu y y (-x, y) (x, y) w = T(x) x x w1 = -x w2 = y  1 0   0 1 terhadap sumbu x y (x, y) w = T(x) (x, -y) w1 = x w2 = -y 1 0  0 1 terhadap garis y = x y y=x (y, x) (x, y) x x w1 = y w2 = x 0 1  1 0

Maka dari trigonometri dasar: Tabel 4 Tabel 5 Operator-operator Rotasi Operator yang merotasikan setiap vektor dalam R2 melalui sudut tetap disebut “operator rotasi” pada R3. Operator Ilustrasi Persamaan Matriks Standar Proyeksi ortogonal y pada sumbu x (x, y) x (x, 0) w x w1 = x w2 = 0 1 0  0 1 Proyeksi ortogonal y pada sumbu y (0, y) w w1 = 0 w2 = y 0 0 Operator Ilustrasi Persamaan Matriks Standar Proyeksi ortogonal z pada bidang xy (x, y, z) x y w (x, y, 0) w1 = x w2 = y w3 = 0 1 0 0  01 0 0 0 0 Proyeksi ortogonal z pada bidang xz w x (x, 0, z) (x, y, z) w2 = 0 w3 = z 00 0 0 0 1 z (0, y, z) pada bidang yz w1 = 0 0 0 0 y r Maka dari trigonometri dasar: x = r cos; y = r sin dan w1 = r cos ( +), w2 = r sin ( +) w = (w1, w2) x = (x, y)  r x Dengan menggunakan identitas trigonometri kita dapatkan: http://www.mercubuana.ac.id 

z w2 = x sin + y cos w3 = z Operator Ilustrasi Persamaan Tabel 7 Komposisi Transformasi Linear Operator Ilustrasi Persamaan Matriks Standar Rotasi berlawanan dengan jarum jam terhadap sumbu x positif dengan sudut  z w y w1 = x w2 = y cos - z sin w3 = y sin + z cos 1 0 0  0 cos sin 0 sin cos x terhadap sumbu y w1 = x cos + z sin w2 = y w3 = -x sin + z cos cos 0 sin  0 1 0  sin 0 cos terhadap sumbu z w1 = x cos - y sin w2 = x sin + y cos w3 = z cos sin 0 sin cos 0  0 0 1 Jika TA : Rn Rk dan TB : Rk Rm adalah transformasi-transformasi linear, maka untuk setiap x dalam Rn, kita pertama-tama bisa menghitung TA (x) yang merupakan suatu vektor dalam Rk, dan kemudian kita bisa menghitung TB (TA (x)) yang merupakan suatu vektor dalam Rm. Jadi penerapan TA yang diikuti oleh TB menghasilkan suatu transformasi dari Rn ke Rm. transformasi ini disebut “komposisi TB dengan TA” dan dinyatakan oleh TB dan TA (TB lingkaran TA), jadi: (TB o TA ) (x) = TB (TA(x)) Komposisi TB o TA adalah linear, karena: (TB o TA ) (x) = TB (TA(x)) = B (Ax) = (BA) x Dengan demikian matriks standar untuk TB o Ta adalah BA: TB o TA = TBA contoh: Anggap T1 : R2 R2 dan T2 : R2 R2 adalah operator-operator linear yang merotasikan vektor masing-masing dengan sudut1 dan2, jadi operasinya: [T2 o T1] (x) = T2 (T1 (x)) Pertama merotasikan x dengan sudut1, kemudian merotasikan T1(x) dengan sudut2. y T2 (T1 (x)) T1 (x) 2 x 1 x http://www.mercubuana.ac.id