Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2012/2013 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Algoritma Simpleks untuk Minimization Problem Metode 1: Rubah fungsi obyektif: min z → max (-z) Selesaikan dengan algoritma simpleks Metode 2: Dengan menggunakan semua langkah pada algoritma simpleks, kecuali pada langkah 3, kebalikan dari kasus max Jika semua koefisien baris 0 <=0, BFS solusi optimal Selainnya, pilih koefisien paling positif untuk masuk ke dalam BV

Contoh Metode 1 Langkah 1: Bentuk standar dan merubah fs obyektif, Tableau 0 Tableau 0 -z x1 x2 s1 s2 rhs Baris 0 1 2 -3 Baris 1 4 Baris 2 -1 6

Contoh Metode 1 Langkah 2: Menentukan BFS, BV, NBV Tableau 0 -z x1 x2 rhs Baris 0 1 2 -3 Baris 1 4 Baris 2 -1 6 BV -z=0 s1=4 s2=6 Langkah 3: BFS belum optimal Masih ada koefisien baris 0 yang negatif: x2 Menambah nilai x2 (menjadikan BV) akan menaikkan nilai z Lakukan ratio test untuk menentukan peubah yang digantikan oleh x2

Contoh Metode 1 Tableau 0 -z x1 x2 s1 s2 rhs BV Baris 0 1 2 -3 -z=0 Kolom Pivot Tableau 0 -z x1 x2 s1 s2 rhs BV Baris 0 1 2 -3 -z=0 Baris 1 4 s1=4 Baris 2 -1 6 s2=6 Ratio test 4 tidak ada Baris pivot Pilih Entering Variable: pemenang ratio test Peubah NBV yang meningkatkan Z paling besar: x2, untuk menggantikan salah satu peubah di BV: s1 Langkah 4: Lakukan ERO untuk memperoleh bentuk kanonik yang baru

Contoh Metode 1 (ERO) Tableau 0 -z x1 x2 s1 s2 rhs BV Baris 0 1 2 -3 -z=0 Baris 1 4 s1=4 Baris 2 -1 6 s2=6 Ratio test 4 tidak ada Dengan ERO ingin diperoleh Tableau 1: baris 1 didahulukan (pivot row) Tableau 1 -z x1 x2 s1 s2 rhs Baris 1 1 4

Contoh Metode 1 (ERO) Tableau 0 -z x1 x2 s1 s2 rhs BV Baris 0 1 2 -3 -z=0 Baris 1 4 s1=4 Baris 2 -1 6 s2=6 Ratio test 4 tidak ada ERO untuk baris 0 dengan memanfaatkan baris 1 (pivot row) Tableau 1 -z x1 x2 s1 s2 rhs Baris 0 1 5 3 12 Baris 1 1 4

Contoh Metode 1 (ERO) Tableau 0 -z x1 x2 s1 s2 rhs BV Baris 0 1 2 -3 -z=0 Baris 1 4 s1=4 Baris 2 -1 6 s2=6 Ratio test 4 tidak ada ERO untuk baris 2 dengan memanfaatkan baris 1 (pivot row) Tableau 1 -z x1 x2 s1 s2 rhs BV -z=12 x2=4 s2=10 Baris 0 1 5 3 12 Baris 1 1 4 Baris 2 2 1 10

Contoh Metode 1, Tableau 1 Tableau 1 -z x1 x2 s1 s2 rhs BV Baris 0 1 5 3 12 -z=12 Baris 1 4 x2=4 Baris 2 2 10 s2=10 Apakah BFS optimal? Tidak ada lagi koefisien <0 di baris nol. Tidak mungkin lagi meningkatkan nilai z. BFS sudah optimal. Dengan nilai peubah x1=0 dan x2=4, diperoleh nilai z minimum sebesar -12

Contoh Metode 2 Langkah 1: Bentuk standar dan Tableau 0 Tableau 0 Z x1 rhs Baris 0 1 -2 3 Baris 1 4 Baris 2 -1 6

Contoh Metode 2 Langkah 2: Menentukan BFS, BV, NBV Tableau 0 Z x1 x2 rhs Baris 0 1 -2 3 Baris 1 4 Baris 2 -1 6 BV z=0 s1=4 s2=6 Langkah 3: BFS belum optimal. Syarat optimal jika semua koef baris nol <=0 Masih ada koefisien baris 0 yang positif: x2 Menambah nilai x2 (menjadikan BV) akan menurunkan nilai z Lakukan ratio test untuk menentukan peubah yang digantikan oleh x2

Contoh Metode 2 Tableau 0 z x1 x2 s1 s2 rhs BV Baris 0 1 -2 3 z=0 Kolom Pivot Tableau 0 z x1 x2 s1 s2 rhs BV Baris 0 1 -2 3 z=0 Baris 1 4 s1=4 Baris 2 -1 6 s2=6 Ratio test 4 tidak ada Baris pivot Pilih Entering Variable: pemenang ratio test Peubah NBV yang menurunkan Z paling besar: x2, untuk menggantikan salah satu peubah di BV: s1 Langkah 4: Lakukan ERO untuk memperoleh bentuk kanonik yang baru

Contoh Metode 2 (ERO) Tableau 0 z x1 x2 s1 s2 rhs BV Baris 0 1 -2 3 z=0 Baris 1 4 s1=4 Baris 2 -1 6 s2=6 Ratio test 4 tidak ada Dengan ERO ingin diperoleh Tableau 1: baris 1 didahulukan (pivot row) Tableau 1 z x1 x2 s1 s2 rhs Baris 1 1 4

Contoh Metode 2 (ERO) Tableau 0 z x1 x2 s1 s2 rhs BV Baris 0 1 -2 3 z=0 Baris 1 4 s1=4 Baris 2 -1 6 s2=6 Ratio test 4 tidak ada ERO untuk baris 0 dengan memanfaatkan baris 1 (pivot row) Tableau 1 -z x1 x2 s1 s2 rhs Baris 0 1 -5 -3 -12 Baris 1 1 4

Contoh Metode 2 (ERO) Tableau 0 z x1 x2 s1 s2 rhs BV Baris 0 1 -2 3 z=0 Baris 1 4 s1=4 Baris 2 -1 6 s2=6 Ratio test 4 tidak ada ERO untuk baris 2 dengan memanfaatkan baris 1 (pivot row) Tableau 1 z x1 x2 s1 s2 rhs BV z=-12 x2=4 s2=10 Baris 0 1 -5 -3 -12 Baris 1 1 4 Baris 2 2 1 10

Contoh Metode 2, Tableau 1 Tableau 1 z x1 x2 s1 s2 rhs BV Baris 0 1 -5 -3 -12 z=-12 Baris 1 4 x2=4 Baris 2 2 10 s2=10 Apakah BFS optimal? Tidak ada lagi koef >0 di baris nol. Tidak mungkin lagi menurunkan nilai z. BFS sudah optimal. Dengan nilai peubah x1=0 dan x2=4, diperoleh nilai z minimum sebesar -12

Metode BIG M Digunakan pada kasus LP dengan kendala >= dan = Pada kendala-kendala tersebut diperlukan peubah dummy Prinsip metode BIG M: Memberikan penalti sebesar-besarnya bagi peubah dummy

Contoh Kasus dengan Metode Big M Bevco memproduksi soft drink rasa jeruk ORANJ dari campuran soda rasa jeruk dan jus jeruk per botol berisi 10 oz. Setiap bahan tsb mengandung gula dan vitamin C, di mana produk ORANJ harus memenuhi kriteria batas maksimum kandungan gula dan batas minimum vitamin C.

Contoh Kasus dengan Metode Big M Dibutuhkan biaya tertentu untuk membeli setiap bahan. Ingin diputuskan komposisi bahan di dalam 10 oz ORANJ yang memenuhi kriteria kandungan gula dan vitamin C, dengan biaya minimum.

Tabel Komposisi Bahan dan Kriteria, Biaya Produksi ORANJ   # oz Soda/botol ORANJ #oz Jus/Botol ORANJ Kriteria Kandungan Gula (ons) 0,5 0,25 Paling banyak 4 ons Vit C (mg) 1 3 Paling sedikit 20 mg Per Botol 10 oz Biaya (cent) 2 Apa peubah keputusannya? Fungsi Obyektif?

Tabel Komposisi Bahan dan Kriteria, Biaya Produksi ORANJ   # oz Soda/botol ORANJ #oz Jus/Botol ORANJ Kriteria Kandungan Gula (ons) 0,5 0,25 Paling banyak 4 ons Vit C (mg) 1 3 Paling sedikit 20 mg Per Botol 10 oz Biaya (cent) 2 Apa kendala untuk kandungan Gula? Apa kendala untuk kandungan Vitamin C? Apa kendala untuk volume per botol ORANJ?

LP bagi BEVCO untuk Produksi ORANJ Bentuk standar?

LP dalam Tableau Penambahan peubah dummy a2, a3, untuk menciptakan bentuk kanonik dari tableau awal s.t. Tableau 0 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 0 1 -2 -3 Baris 1 0,5 0,25 4 Baris 2 3 -1 20 Baris 3 10 BV z=0 s1=4 a2=20 a3=10

LP dalam Tableau dengan BIG M Peubah dummy a2, a3, tidak mempunyai interpretasi/arti di dalam model Di dalam solusi optimal a2, a3, tidak boleh sebagai BV Penalti M pada kasus min (maks) Pada fs obyektif, ditambahkan (dikurangkan) a2, a3 dengan penalti/bobot sebesar-besarnya (angka besar M) a2, a3 agar tidak terpilih sebagai solusi

LP dalam Tableau dengan BIG M z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 0 1 -2 -3 -M Baris 1 0,5 0,25 4 Baris 2 3 -1 20 Baris 3 10 Untuk memperoleh a2, a3 sebagai BV di tableau 0, koefisien –M pada baris nol (untuk a2, a3)harus dibuat jadi nol dengan ERO Tableau 0 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs BV z=30M s1=4 a2=20 a3=10 Baris 0’ 1 -2+2M -3+4M -M 30M Baris 1 0,5 0,25 1 4 Baris 2 3 -1 20 Baris 3 10

LP dalam Tableau dengan BIG M Kolom pivot Tableau 0 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 0 1 -2+2M -3+4M -M 30M Baris 1 0,5 0,25 4 Baris 2 3 -1 20 Baris 3 10 x2 -3+4M 0,25 3 1 BV z=30M s1=4 a2=20 a3=10 Ratio test 4/0.25=16 20/3 * 10/1=10 Baris 2 1 3 -1 20 Baris pivot M: bilangan besar positif. BFS belum optimal karena masih ada koefisien > 0 di baris nol (kasus min). x2 dapat menurunkan z paling besar (koef paling +), dapat dimasukkan dalam BV. x2 menggantikan salah satu BV pemenang ratio test.

ERO untuk Tableau 1 Pada baris pivot terlebih dahulu: Tableau 0 z x1 rhs Baris 0 1 -2+2M -3+4M -M 30M Baris 1 0,5 0,25 4 Baris 2 3 -1 20 Baris 3 10 Pada baris pivot terlebih dahulu: Tableau 1 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 2 1/3 1 -1/3 20/3

ERO untuk Tableau 1 ERO baris 0, memanfaatkan Baris 2 (1): Tableau 0 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 0 1 -2+2M -3+4M -M 30M Baris 1 0,5 0,25 4 Baris 2 3 -1 20 Baris 3 10 ERO baris 0, memanfaatkan Baris 2 (1): Tableau 1 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 0 1 (2M-3)/3 (M-3)/3 (3-4M)/3 (60+10M)/3 Baris 2 1/3 1 -1/3 20/3

ERO untuk Tableau 1 ERO baris 1, memanfaatkan Baris 2 (1): Tableau 0 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 0 1 -2+2M -3+4M -M 30M Baris 1 0,5 0,25 4 Baris 2 3 -1 20 Baris 3 10 ERO baris 1, memanfaatkan Baris 2 (1): Tableau 1 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 0 1 (2M-3)/3 (M-3)/3 (3-4M)/3 (60+10M)/3 Baris 1 1 5/12 1/12 -1/12 7/3 Baris 2 1/3 1 -1/3 20/3

ERO untuk Tableau 1 ERO baris 3, memanfaatkan Baris 2 (1): Tableau 0 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 0 1 -2+2M -3+4M -M 30M Baris 1 0,5 0,25 4 Baris 2 3 -1 20 Baris 3 10 ERO baris 3, memanfaatkan Baris 2 (1): Tableau 1 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 0 1 (2M-3)/3 (M-3)/3 (3-4M)/3 (60+10M)/3 Baris 1 1 5/12 1/12 -1/12 7/3 Baris 2 1/3 1 -1/3 20/3 Baris 3 2/3 1/3 -1/3 1 10/3

Tableau 1 untuk Bevco LP Tableau 1 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 0 1 (2M-3)/3 (M-3)/3 (3-4M)/3 (60+10M)/3 Baris 1 5/12 1/12 -1/12 7/3 Baris 2 1/3 -1/3 20/3 Baris 3 2/3 10/3 BV z=(60+10M)/3 S1=7/3 x2=20/3 a3=10/3 Tableau 1 belum optimal karena masih ada koefisien + di baris nol: x1 dan e2 Dilakukan kembali ratio test dan ERO sehingga diperoleh tableau 2 berikut: Tableau 2 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 0 1 -1/2 (1-2M)/2 (3-2M)/2 25 Baris 1 -1/8 1/8 -5/8 ¼ Baris 2 1/2 5 Baris 3 3/2 BV z=25 S1=1/4 x2=5 x1=5

Solusi Optimal untuk LP Bevco Tableau 2 z x1 x2 s1 e2 a2 a3 rhs Baris 0 1 -1/2 (1-2M)/2 (3-2M)/2 25 Baris 1 -1/8 1/8 -5/8 ¼ Baris 2 1/2 5 Baris 3 3/2 BV z=25 s1=1/4 x2=5 x1=5 Untuk mencapai biaya produksi minimum sebesar 25 cent / botol ORANJ, harus digunakan campuran 5 oz soda jeruk dan 5 oz jus jeruk.