Oleh: Rina Agustina Pendidikan Matematika ANALISIS REAL I Oleh: Rina Agustina Pendidikan Matematika

DEFINISI 3.2.1 dikatakan terbatas jika terdapat Barisan bilangan real X = (xn) dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real M > 0 sehingga │xn│ ≤ M untuk semua n  N.

Jika (xn) barisan bilangan real konvergen, maka (xn) terbatas. Teorema 3.2.3 Jika (xn) barisan bilangan real konvergen, maka (xn) terbatas.

BUKTI:

Teorema 3.2.4 Jika X = xn dan Y = yn masing – masing barisan bilangan real yang konvergen ke x dan y maka barisan X + Y, X – Y, XY dan cX , dengan c  , berturut-turut konvergen ke x + y, x – y, xy dan cx.

maka barisan X/Z konvergen ke x/z. Selanjutnya, jika Z = zn barisan bilangan real tak nol yang konvergen ke z ≠ 0, maka barisan X/Z konvergen ke x/z.

BUKTI:  

Akan dibuktikan: X.Y = 𝑥 𝑛 . 𝑦 𝑛 konvergen ke xy. Analisis pendahuluan: 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 −𝑥𝑦 = 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 − 𝑥 𝑛 𝑦 − 𝑥 𝑛 𝑦−𝑥𝑦 ≤ 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 −𝑦 + 𝑦 𝑥 𝑛 −𝑥 = 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 −𝑦 + 𝑦 𝑥 𝑛 −𝑥

Karena 𝑥 𝑛 konvergen, maka ada 𝑀 1 >0∋ 𝑥 𝑛 ≤ 𝑀 1 , ∀𝑛∈𝑁 Karena 𝑥 𝑛 konvergen, maka ada 𝑀 1 >0∋ 𝑥 𝑛 ≤ 𝑀 1 , ∀𝑛∈𝑁. Pilih M = maks 𝑀 1 , 𝑌 sehingga diperoleh: 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 −𝑥𝑦 ≤ M 𝑦 𝑛 −𝑦 +M 𝑥 𝑛 −𝑥

Diberikan sebarang 𝜀>0 Diberikan sebarang 𝜀>0. Karena X dan Y konvergen maka ∃ 𝐾 1 ∈𝑁∋untuk 𝑛≥ 𝐾 1 , berlaku 𝑥 𝑛 −𝑥 < 𝜀 2𝑀 Dan ∃ 𝐾 2 ∈𝑁∋untuk 𝑛≥ 𝐾 2 , berlaku 𝑦 𝑛 −𝑦 < 𝜀 2𝑀

Ambil K = maks ( 𝐾 1 , 𝐾 2 ), sehingga untuk 𝑛≥𝐾 berlaku: 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 −𝑥𝑦 ≤ M 𝑦 𝑛 −𝑦 +M 𝑥 𝑛 −𝑥 <𝑀. 𝜀 2𝑀 + 𝑀. 𝜀 2𝑀 = 𝜀 Sehingga terbukti bahwa X.Y = 𝑥 𝑛 . 𝑦 𝑛 konvergen ke xy.

Akan dibuktikan bahwa: 𝑋 𝑌 konvergen ke 𝑥 𝑦 Dengan cukup membuktikan bahwa 1 𝑧 𝑛 konvergen ke 1 𝑧 Ambil 𝛼= 1 2 𝑧 > 0. pilih 𝐾 1 ∈𝑁 sehingga 𝑧 𝑛 −𝑧 <𝛼 apabila 𝑛≥ 𝐾 1 berlaku:

−𝛼<− 𝑧 𝑛 −𝑧 ≤ 𝑧 𝑛 − 𝑧 Atau 1 2 𝑧 = 𝑧 −𝛼≤ 𝑧 𝑛 Akibatnya untuk 𝑛≥ 𝐾 1 berlaku: 1 𝑧 𝑛 ≤ 2 𝑧 Selanjutnya:

1 𝑧 𝑛 − 1 𝑧 = 𝑧− 𝑧 𝑛 𝑧. 𝑧 𝑛 = 1 𝑧. 𝑧 𝑛 𝑧− 𝑧 𝑛 ≤ 2 𝑧 2 𝑧− 𝑧 𝑛 Diberikan sebarang 𝜀>0. Pilih 𝐾 2 ∈𝑁 sehingga untuk 𝑛≥ 𝐾 2 berlaku: 𝑧− 𝑧 𝑛 < 𝜀 𝑧 2 2

Ambil K = maks ( 𝐾 1 , 𝐾 2 ), maka untuk 𝑛≥𝐾, Berlaku : 1 𝑧 𝑛 − 1 𝑧 = 𝑧− 𝑧 𝑛 𝑧. 𝑧 𝑛 = 1 𝑧. 𝑧 𝑛 𝑧− 𝑧 𝑛 ≤ 2 𝑧 2 𝑧− 𝑧 𝑛 < 2 𝑧 2 . 𝜀. 𝑧 2 2 =𝜀 Sehingga terbukti bahwa 𝑋 𝑌 konvergen ke 𝑥 𝑦

Tunjukkan bahwa 𝑥 𝑛 = 2𝑛 3𝑛+3 terbatas ! SOAL: Tunjukkan bahwa 𝑥 𝑛 = 2𝑛 3𝑛+3 terbatas !

Jawab: 𝑥 𝑛 = 2𝑛 3𝑛+3 Dicari M > 0 ∋ 𝑥 𝑛 ≤𝑀, ∀𝑛∈𝑁 𝑥 𝑛 = 2𝑛 3𝑛+3 ≤ 2𝑛 3𝑛 = 2 3 Ini berarti 𝑥 𝑛 = 2𝑛 3𝑛+3 terbatas.

Tentukan Limit dari 𝑋 𝑛 = 2+ 1 𝑛 2

Jawab: 𝑋 𝑛 = 2+ 1 𝑛 2 = 4 + 2 𝑛 + 1 𝑛 2 lim 𝑛→∞ 4 + 2 𝑛 + 1 𝑛 2 = lim 𝑛→∞ 4 + lim 𝑛→∞ 2 𝑛 + lim 𝑛→∞ 1 𝑛 2 lim 𝑛→∞ 2 𝑛 konvergen ke 0 lim 𝑛→∞ 1 𝑛 2 konvergen ke 0, maka: lim 𝑛→∞ 4 + lim 𝑛→∞ 2 𝑛 + lim 𝑛→∞ 1 𝑛 2 = 4 + 0 + 0 = 4