PERSAMAAN DIFUSI FOKKER-PLANCK MODEL STOCHASTIC PERSAMAAN DIFUSI FOKKER-PLANCK

Abstrak Persamaan difusi diturunkan dengan menggunakan konsep “random walk” yang diterapkan pada persamaan beda. Dengan “ Taylor ” persamaan tersebut dideretkan sampai order dua, persamaan diferensial yang diperoleh diselesaikan dengan “Transformasi Fourier”. Selanjutnya persamaan difusi yang diperoleh yang berbentuk “probability density function” disimulasi untuk melihat visualisasi 3-D dan profil grafik 2-D dari titik-titik waktu observasi yang menjadi interest. Pendekatan semacam itu sangat bermanfaat untuk pemodelan dan simulasi masalah-masalah dispersi, misalnya penyebaran asap kebakaran hutan atau banyak phenomena alam lainnya yang serupa

Diskripsi Masalah Pada presentasi ini akan disimulasi model penyebaran asap kebakaran hutan yang bergerak mulai dari waktu t = 0 dan pada lokasi x = 0. Asap diasumsikan bergerak dengan kecepatan 10 km/jam dengan koefisien difusi 1 km2 / jam . Model matematika yang akan disimulasi adalah solusi dari persamaan Fokker-Planck yang berbentuk : Persamaan tersebut diturunkan dengan konsep random walk sebagai berikut :

Penurunan model persamaan difusi Fokker-Planck Konsep random walk diterapkan pada persamaan beda sbb: P(n+1,x) = p P(n,x-1) + q P(n,x+1) (1) Dgn. syarat batas P(0,0) = 1 dan P(0,x) = 0 untuk x  0 (2) Bila diambil step size x (ruang) dan t (waktu) dan dimisalkan t = n t, maka dapat ditumjukkan bahwa mean dan variance untuk satu langkah yang panjangnya x adalah : (3) Karena setiap step independent dari dan mempunyai pdf yang sama dengan step lainnya, maka dapat ditulis :

(4) (5) Agar supaya x dan x2 tetap berhingga untuk semua t, maka dapat diatur sbb: (6) Dimana D disebut koefisien difusi dan biasanya diasumsikan konstant. Dengan spesifikasi tersebut diperoleh :

(7) Selanjutnya misalkan, (8) Dimana c adalah kecepatan. Karena p = q bila x = 0, maka diatur nilai p dan q sbb : (9) (10)

Sehingga persamaan (1) dapat ditulis, Sehingga diperoleh , x = 2 c t (11) 2x = 2 D t (12) Sehingga persamaan (1) dapat ditulis, P(t + t, x ) = p P(t, x - |x|) + q P(t, x + |x|) (13) Persamaan (13) inilah yg. Diekspansikan dengan deret Taylor akan tetapi dengan menggunakan pdf sbb.: (14) Selanjutnya persamaan tersebut diselesaikan dengan Transformasi Fourier untuk mendapatkan bentuk pdf.nya yang berbentuk :

(15) Perilaku dari fungsi inilah yang disimulasi dengan MATLAB, dimana perubahan pdf divisualisasi dalam bentuk 3-D dengan disertai plot profile 2-D dari perubahan pdf pada titik-titik waktu observasi yang menjadi interest Sbb: Simulasi 3-D Observasi titik waktu interest

SIMULASI PENYEBARAN ASAP KEBAKARAN HUTAN Hasil simulasi 3-D yang merupakan visualisasi perubahan fungsi probabilitas densitas dengan c = 10 km/jam dan koefisien difusi diambil 1 km2 /jam M file GUI

Simulasi grafik pandangan samping Gambar disamping ini adalah hasil rotasi gambar 3-D yang dilihat dari samping .

Observasi pada titik-titik waktu yang menjadi interest

TUTORIAL G U I MATLAB