TEORI DUALITAS

Pengertian Dualitas Konsep dualitas menjelaskan sebuah kasus PL berhubungan dengan kasus PL lainnya. Setiap PL terdiri dari 2 bentuk: - Primal : bentuk pertama PL - Dual : bentuk kedua PL yang berkaitan dengan bentuk pertama PL (primal) Menyelesaikan masalah primal sekaligus akan menyelesaikan kasus dual dan sebaliknya

Kebutuhan minimum per hari Contoh Berikut ini diberikan tabel jumlah mineral dan vitamin yang terdapat pada dua jenis makanan tiruan yaitu daging dan sayuran perunit, serta harganya. Masalah adalah menentukan biaya pembelian sejumlah daging dan sayuran sehingga kebutuhan minimum akan mineral dan vitamin terpenuhi Kandungan Makanan Tiruan Kebutuhan minimum per hari Daging Sayuran Mineral 2 4 40 Vitamin 3 50 Harga Per Unit 2,5 BUATLAH MODELNYA !

Misalkan banyaknya daging yang dibeli x1 unit banyaknya sayuran yang dibeli x2 unit Minimumkan z = 3x1+2,5x2 Dengan kendala: 2x1+4x2 ≥ 40 3x1+2x2 ≥ 50 x1,x2 ≥ 0

Pemasok harus menetapkan harga jual vitamin/unit sebesar y1 dan harga jual mineral/unit sebesar y2 agar menghasilkan harga jual daging dan sayuran tiruan yang tidak melebihi harga pasar. Maka model dualnya adalah Maksimumkan w = 40y1+50y2 Dengan kendala : 2y1+3y2 ≤ 3 4y1+2y2 ≤ 2,5 y1,y2 ≥ 0

Maksimumkan w =40y1+50y2 kendala : 2y1+3y2 ≤ 3 4y1+2y2 ≤ 2,5 y1,y2 ≥ 0 Minimumkan z = 3x1+2,5x2 kendala: 2x1+4x2 ≥ 40 3x1+2x2 ≥ 50 x1,x2 ≥ 0 Dalam y1 y2 t Primal Dual Kendala i Variabel i Fungsi Tujuan Nilai Kanan

Kasus PL yang Normal Primal Dual Maksimumkan z=c1x1+c2x2+...+cnxn Kendala a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn ≤ b2 ⁞ am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn ≤ bm x1,x2 ,...,xn ≥ 0 Minimumkan z=c1x1+c2x2+...+cnxn Kendala a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn ≥ b1 a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn≥b2 am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn ≥ bm Minimumkan w=b1y1+b2y2+...+bmym Kendala a11y1 + a21y2 + ...+ am1ym ≥ c1 a12y1 + a22y2 + ...+ am2ym ≥ c2 ⁞ a1ny1 + a2ny2 + ...+ amnym ≥ cn y1,y2 ,...,ym ≥ 0 Maksimumkan w=b1y1+b2y2+...+bmym Kendala a11y1 + a21y2 + ...+ am1ym ≤c1 a12y1 + a22y2 + ...+ am2ym≤c2 a1ny1 + a2ny2 + ...+ amnym ≤ cn

Hubungan Primal dan Dual Koefisien fungsi tujuan di masalah primal menjadi konstanta ruas kanan dari fungsi kendala pada masalah dual Tanda pertidaksamaan kendala dibalik Tujuan minimasi di primal diubah menjadi maksimasi di dual dan sebaliknya Setiap kolom koefisien di primal adalah satu koefisien kendala di dual Bentuk dual dari dual adalah primal

Buatlah Dual dari permasalahan Primal berikut ini Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 4x3 Kendala x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 20 3x1 + x2 + 4x3 ≤ 12 x1, x2 , x3 ≥ 0 Minimumkan z = x1 + 2x2 + 2x3 Kendala 2x1 + x2 + 5x3 ≥ 40 x1 + 4x2+ 2x3 ≥ 32

Persamaan PL yang Tidak Normal Jika kasus minimasi ada kendala dengan tanda ‘=‘ dan ‘≤’ Jika kasus maksimasi ada kendala dengan tanda ‘=‘ dan ‘≥’

Langkah mengubah persoalan maksimasi/minimasi menjadi persoalan normal Kalikan setiap kendala ‘≥’ (untuk maksimasi) atau ‘≤’ (untuk minimasi) dengan bilangan -1. Ganti setiap kendala ‘=‘ dengan dua ketidaksamaan (‘≥’ dan ‘≤’). Ganti setiap variabel xj tak terbatas menjadi xj = xj‘-xj’’ dimana xj‘ ≥ 0, xj’’ ≥ 0.

Hal yang Harus diperhatikan dalam Membangun Dual Persamaan PL yang Tidak Normal Persoalan : Maksimasi : Jika kendala primal ke-i bertanda ‘≥’, maka variabel dual yang berkorespondensi dengan kendala tersebut akan memenuhi yi ≤ 0. Minimasi : Jika kendala primal ke-i bertanda ‘≤’, maka variabel dual yang berkorespondensi dengan kendala tersebut akan memenuhi

Hal yang Harus diperhatikan dalam Membangun Dual Persamaan PL yang Tidak Normal Jika kendala primal ke-i bertanda ‘=‘, maka variabel dual yang berkorespondensi dengan kendala tersebut akan tidak terbatas dalam tanda. Jika variabel primal ke-i tidak terbatas dalam tanda, maka kendala dual ke-i akan bertanda ‘=‘.

Contoh Primal : Maksimumkan z = x1 + 2x2 – 3x3 + 4x4 Kendala x1 + 2x2 + 2x3 – 3x4 ≤ 25 2x1 + x2 – 3x3 + 2x4 = 15 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 Standar Primal : Maksimumkan z = x1 + 2x2 – 3x3 + 4x4 + 0S1 – MR2 Kendala x1 + 2x2 + 2x3 – 3x4 + S1 = 25 2x1 + x2 – 3x3 + 2x4 + R2 = 15 x1 , x2 , x3 , x4 , S1 , R2 ≥ 0 y1 y2

Dual : Minimumkan w = 25y1 + 15y2 Kendala y1 + 2y2 ≥ 1 2y1 + y2 ≥ 2 2y1 – 3y2 ≥ – 3 –3y1 + 2y2 ≥ 4 y1 + 0y2 ≥ 0  y1 ≥ 0 y2 = 0  y2 tidak terbatas dalam tanda Catatan : Karena y2 tidak terbatas dalam tanda, maka y2 memiliki dua harga yaitu y2 = (y2’ –y2’’)

Standar Dual : Minimumkan w = 25y1+15(y2’ –y2’’)+MR1+MR2+MR3+MR4 Kendala y1 + 2(y2’ –y2’’) – S1 +R1 = 1 2y1 + (y2’ –y2’’) – S2 +R2 = 2 2y1 – 3(y2’ –y2’’) – S3 +R3 = – 3 –3y1 + 2(y2’ –y2’’) – S4 +R4 = 4 y1 , y2’, y2’’, S1 , S2 , S3 , S4 , R1 , R2 , R3 , R4 ≥ 0

Buatlah bentuk standar dari persoalan primal berikut ini, tentukan bentuk dual dan dual standarnya Maksimumkan z = 5x1 + 12x2 + 4x3 Kendala x1 + 2x2 + x3 ≤ 10 2x1 - x2 +3x3 = 8 x1 , x2 , x3 ≥ 0 Bentuk Primal Standar Maksimumkan z = 5x1 +12x2 + 4x3 + 0S1 - MR3 Kendala x1 + 2x2 + x3 + S1 = 10 2x1 - x2+3x3 +R3 = 8 x1 , x2 , x3, S1, R3 ≥ 0

Primal 1 2 3 4 iterasi basis x1 x2 x3 S1 R1 Solusi z -2M-5 M-12 -3M-4 z -2M-5 M-12 -3M-4 -8M 1 2 10 -1 3 8 -7/3 -40/3 4/3+M 32/3 1/3 7/3 -1/3 22/3 2/3 8/3 -3/7 40/7 M-4/7 368/7 1/7 3/7 -1/7 22/7 5/7 2/7 26/7 3/5 29/5 -2/5+M 544/5 1/5 2/5 -1/5 12/5 7/5 26/5

Sifat-Sifat Primal-Dual (1) Sifat 1 : Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel-variabel basis awal Caranya : Kurangi nilai-nilai simpleks multiplier dengan fungsi tujuan yang original dari variabel-variabel basis awal. iterasi basis x1 x2 x3 S1 R1 Solusi z -2M-5 M-12 -3M-4 -8M 1 2 10 -1 3 8 -7/3 -40/3 4/3+M 32/3 1/3 7/3 -1/3 22/7 2/3 8/3

Sehingga simplex multipliers-nya Yang menjadi basis pada iterasi 1 adalah S1 dan x3, koefisien fungsi tujuan pada iterasi awal adalah 0 dan 4. S1 dan R1 adalah basis pada iterasi awal maka matriks dibawah variabel S1 dan R1 pada iterasi 1 adalah Sehingga simplex multipliers-nya Kurangi simpleks multipliers dengan koefisien fungsi tujuan dari basis – basis iterasi awal yaitu S1 dan R1 , nilainya 0 dan –M sehingga diperoleh Adalah koefisien fungsi tujuan S1 dan R1 pada iterasi 1. Cek untuk iterasi 2 dan 3 Tabel

Sifat-Sifat Primal-Dual (2) Sifat 2 : Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel- variabel non basis awal Caranya : Kalikan vektor baris simpleks multiplier pada iterasi yang bersangkutan dengan matriks koefisien kendala pada iterasi awal lalu dikurangkan dengan vektor baris koefisien fungsi tujuan variabel nonbasis pada iterasi awal. Dari contoh diiterasi pertama diperoleh koefisien x1 , x2 , x3 Cek untuk iterasi 2 dan 3 Tabel

Sifat-Sifat Primal-Dual (3) Sifat 3 : Menentukan nilai ruas kanan (solusi) dari variabel-variabel basis Caranya : Sifat 4 : Menentukan koefisien kendala/pembatas Caranya :

Dari contoh sifat 3 dapat digunakan misalkan untuk iterasi 1 awal maka iterasi 1 Cek untuk iterasi 2 dan 3 Tabel

Dari contoh sifat 4 dapat dihitung koefisien kendala pada iterasi 1, matriks dibawah basis awal pada iterasi 1 adalah Dan matriks koefisien kendala pada iterasi awal adalah sehingga Tabel Cek untuk iterasi 2 dan 3

Latihan Tentukan nilai a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t Primal : F. Tujuan : Maks Z = 4x1 + 6x2 + 2x3 F.Pembatas : 4x1 – 4x2 ≤ 5 – x1 + 6x2 ≤ 5 – x1 + x2 + x3 ≤ 5 x1 , x2 , x3 ≥ 0 Salah satu iterasi dari persoalan diatas adalah Basis x1 x2 x3 S1 S2 S3 Solusi z d e f a b c t j m p 6/20 4/20 g k n q 1/20 h l o r 5/20 1 i Tentukan nilai a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t