Maksimum dan Minimun ( Titik Ekstrim ) Pertemuan 18 Matakuliah : J0174/Matematika I Tahun : 2008 Maksimum dan Minimun ( Titik Ekstrim ) Pertemuan 18

Garis Singgung Koefisien arah garis singgung (slope) suatu kurva di suatu titik adalah sama dengan turunan pertama fungsi itu di titik tersebut. Jika y = f(x) suatu lengkung maka koefisien garis singgung pada y = f(x) di titik x =x1 dengan persamaan garis singgung : ‘y – y1 = m (x – x1) Bina Nusantara

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan y = x3 di titik P( 2, 8) Jawab: Y = x3 maka y’ = 3x2, m=f’(2)= 3(2)2 = 12 Maka persamaan garis singgungnya adalah Y – 8 = 12(x – 2) Y - 8 = 12x – 24 Y = 12x – 16 Catatan: Jika y’ < 0 maka garis singgung bergerak turun dari kiri atas ke kanan bawah (slope negatif) Jika y’ > 0 maka garis singgung bergerak dari kiri bawah ke kanan atas. Bina Nusantara

Maksimum dan Minimum Relatif/Lokal Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum/minimum relatif/lokal pada x = a, jika f(a) lebih besar/kecil daripada nilai f(x) yang lain, untuk x yang berada pada interval di sekitar a Bina Nusantara

Menentukan Nilai Ekstrim dengan Turunan Pertama dan Kedua (1) Y = f (x) Syarat ekstrim: f’ (x) = 0  x = a Jika f” (a) < 0  f(a) adalah nilai maksimum dari f (x) Jika f” (a) > 0  f(a) adalah nilai minimum dari f(x) Jika f”(a) = 0  f(x) di titik x = a adalah titik belok Catatan: Titik belok merupakan titik batas perubahan (cekung ke cembung atau sebaliknya) dari lengkung kurva sebelum titik dengan lengkung kurva sesudah titik. Lengkung cembung bila f” < 0 dan lengkung cekung bila f” > 0. Bina Nusantara

Menentukan Nilai Ekstrim dengan Turunan Pertama dan Kedua (2) Contoh: Tentukan titik ekstrim dari kurva Y = 2x3 + 3x2 – 72x Jawab : Y = 2x3 + 3x2 – 72x Y’ = 6 x2 +6x – 72 Titik ekstrim adalah apabila y’ = 0 6 x2 +6x – 72 = 0 dengan menggunakan rumus abc didapat diperoleh nilai x1 = -4 dan x2 = 3 Untuk mengetahui kedua titik tersebut maksimum dan minimum digunakan nilai y” di titik-titik tersebut. Y” = 12x – 6 Untuk x = -4, y” = -42 karena –42 < 0 maka titik tersebut merupakan nilai maksimum dengan harga y maksimum 2(-4)3 + 3(-4)2 – 72(-4) = 208. {(-4 , 208)} Bina Nusantara

Menentukan Nilai Ekstrim dengan Turunan Pertama dan Kedua (3) Untuk x = 3, y” = 30 karena 30 > 0 maka titik tersebut merupakan minimum. Harga y minimumnya –135. {(3 , -135)} Titik Belok Titik belok kita peroleh dari turuna kedua y”. Y” = 12x – 6 = 0 Maka 12x = 6 X = ½ dengan nilai y = 0 {(1/2 , 0)} Dicek nilai-nilai pada titik sebelum x = ½ Untuk x = 1 maka y “ = 6 dan untuk x = 0 , maka y” = -6. Terdapat perubahan nilai y” dari positip menjadi negatif maka koordinat (1/2,0) merupakan titik belok. Bina Nusantara

Grafik Titik Maksimum Titik Minimum Bina Nusantara