RISET OPERASIONAL 1 RISET OPERASI TIM DOSEN RISET OPERASI UNIVERSITAS GUNADARMA SEPTEMBER 2013

BAB 8. LINIER PROGRAMMING : TRANSPORTASI

Model Transportasi Model transportasi merupakan model khusus dari suatu permasalah linier programming, yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah pengiriman komoditas dari suatu sumber (mis. Pabrik) ke tujuan (mis. Gudang) Tujuan dari model transportasi ini adalah meminimalkan total biaya minimum dengan memenuhi batas pasokan dan kebutuhan.

Model Transportasi Sumber Tujuan Cij : Xij A 1 a1 b1 B 2 a2 b2 Pasokan Kebutuhan C 3 a3 b3

Contoh Permasalahan Sebuah perusahaan retail memiliki gudang dibeberapa kota yaitu Jakarta, Medan dan Semarang, dan selanjutnya dari ketiga gudang tersebut perusahaan berusaha untuk memenuhi kebutuhan pelanggannya di kota-kota Surabaya, Balikpapan dan Makassar. Sementara itu, dari gudang-gudang tersebut perusahaan mampu memasok masing-masing secara berurutan adalah dari Jakarta 120 unit, Medan 80 unit dan Semarang 80 unit, sedangkan permintaan dari kota Surabaya sebanyak 150 unit, Balikpapan sebanyak 70 unit dan Makassar sebanyak 60 unit.

Biaya angkut dari gudang ke pelanggan Contoh Permasalahan Biaya angkut dari gudang ke pelanggan Dari Biaya per unit ke Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 Medan 15 10 12 Semarang 3 9

Contoh Permasalahan Dari contoh permasalahan diatas maka dapat dibuat tabel transportasi seperti berikut: Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280

Solusi Awal dan Optimasi Dalam model transportasi alokasi yang dilakukan untuk mengisi sel-sel kosong (yang dikenal dengan solusi awal) dapat dilakukan dengan beberapa metode, yaitu: North West Corner (NWC) Least Cost Vogel Aproximation Method (VAM) Russel Aproximation Method (RAM) Sementara itu, untuk mencari solusi optimal dapat dilakukan dengan menggunakan metode: Stepping Stone Modified Distribution (Modi)

North West Corner Langkah-langkahnya adalah seperti berikut : Mulai pada pojok barat laut (pojok kiri atas) dan alokasikan sebanyak mungkin pada X11 tanpa menyimpang dari kendala penawaran atau permintaan (artinya X11 ditetapkan sama dengan yang terkecil di antara S1 dan D1) Ini akan menghabiskan penawaran pada sumber 1 dan atau permintaan pada tujuan 1. Akibatnya, tak ada lagi barang yang dapat dialokasikan, selanjutnya alokasikan sebanyak mungkin ke sel di dekatnya pada baris atau kolom. Jika kolom maupun baris telah dihabiskan pindah ke sel berikutnya yang terdekat. Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua penawaran telah dihabiskan dan keperluan permintaan terpenuhi.

North West Corner Sumber Tujuan Supply Demmand 280 120 80 150 70 60 Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280

North West Corner Sumber Tujuan Supply 30 Demmand 280 120 80 150 70 60 Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 30 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280

North West Corner Sumber Tujuan Supply 30 50 Demmand 280 120 80 150 70 Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 30 50 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280

North West Corner Sumber Tujuan Supply 30 50 20 Demmand 280 120 80 150 Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 30 50 Semarang 3 9 20 Demmand 150 70 60 280

TC = (120x8)+(30x15)+(50x10)+(20x9)+(60x10) = 2690 North West Corner Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 30 50 Semarang 3 9 20 60 Demmand 150 70 280 TC = (120x8)+(30x15)+(50x10)+(20x9)+(60x10) = 2690

Least Cost Metode ini berusaha mencapai tujuan minimasi biaya dengan alokasi sistematik pada kotak-kotak sesuai dengan besarnya biaya transpor per unit. Prosedur metode ini adalah sbb: Pilih variabel Xij (kotak) dengan biaya transpor (Cij) terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin. Untuk Cij terkecil, Xij = minimum [S1,D1]. Ini akan menghabiskan baris i atau kolom j. Dari kotak-kotak sisanya yang layak (yaitu yang tidak terisi atau tidak dihilangkan), pilih nilai Cij terkecil berikutnya dan alokasikan sebanyak mungkin. Lanjutkan proses ini sampai semua penawaran dan permintaan terpenuhi

Least Cost Sumber Tujuan Supply Demmand 280 120 80 150 70 60 1 Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280 1

Least Cost Sumber Tujuan Supply Demmand 280 120 80 150 70 60 2 Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280 2

Least Cost Sumber Tujuan Supply 70 Demmand 280 120 80 150 60 3 Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 3

Least Cost Sumber Tujuan Supply 70 50 Demmand 280 120 80 150 60 4 Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 50 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 4

Least Cost Sumber Tujuan Supply 70 50 Demmand 280 120 80 150 60 5 Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 50 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 5

TC = (70x5)+(50x6)+(70x15)+(10x12)+(80x3) = 2060 Least Cost Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 50 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 TC = (70x5)+(50x6)+(70x15)+(10x12)+(80x3) = 2060

Vogel Aproximation Method Proses VAM dapat diringkas seperti berikut : Hitung opportunity cost untuk setiap baris atau kolom. Opportunity cost setiap baris i dihitung dengan mengurangkan nilai Cij terkecil pada baris itu dengan nilai Cij satu tingkat lebih besar pada baris yang sama. Opportunity cost kolom diperoleh dengan cara yang serupa. Biaya-biaya ini adalah penalti karena tidak memilih kotak dengan biaya minimum. Pilih baris atau kolom yang memiliki opportunity cost terbesar (jika ada angka kembar pilih salah satu). Alokasikan sebanyak mungkin ke kotak dengan niali Cij minimum pada baris atau kolom yang dipilih. Sesuaikan penawaran dan permintaan untuk menunjukkan alokasi yang sudah dilakukan. Hilangkan semua baris atau kolom di mana penawaran atau permintaan telah dihabiskan (maksimum) Jika semua penawaran dan permintaan belum terpenuhi, kembali ke langkah 1 dan hitung opportunity cost yang baru.

Vogel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280 6 – 5 = 1 12 – 10 = 2 9 – 3 = 6 8 – 3 = 5 9 – 5 = 4 10 – 6 = 4

Vogel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280 6 – 5 = 1 12 – 10 = 2 9 – 3 = 6 8 – 3 = 5 9 – 5 = 4 10 – 6 = 4

Vogel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280 6 – 5 = 1 12 – 10 = 2 9 – 3 = 6 8 – 3 = 5 9 – 5 = 4 10 – 6 = 4

Vogel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280 6 – 5 = 1 12 – 10 = 2 15 – 8 = 7 10 – 5 = 5 12 – 6 = 6

Vogel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 6 – 5 = 1 12 – 10 = 2 15 – 8 = 7 10 – 5 = 5 12 – 6 = 6

Vogel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 6 – 5 = 1 12 – 10 = 2 10 – 5 = 5 12 – 6 = 6

Vogel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 50 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 12 – 10 = 2

Vogel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 50 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 12 – 10 = 2

Vogel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 50 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 TC = (70x8)+(50x6)+(70x10)+(10x12)+(80x3) = 1920

Russel Aproximation Method RAM melengkapi metode penyusunan tabel awal dengan pendekatan selisih biaya terbesar antara biaya distribusi masing-masing sel dengan biaya distribusi terbesar pada masing-masing baris dan kolom di mana sel itu berada. Secara matematis : Δij = Bij – Ri – Tj di mana, Δij : Selisih biaya distribusi Russell Bij : Biaya distribusi sel pada baris ke-i dan kolom ke-j Ri : Biaya distribusi terbesar pada baris ke-i Tj : Biaya distribusi terbesar pada kolom ke-j

Russel Aproximation Method Δ11 = 8 – 8 – 15 = – 15 Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280 Ri 8 15 10 Tj 15 10 12

Russel Aproximation Method Δ11 = 8 – 8 – 15 = – 15 Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta - 15 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280 Ri 8 15 10 Tj 15 10 12

Russel Aproximation Method Δ11 = 5 – 8 – 10 = – 13 Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta - 15 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280 Ri 8 15 10 Tj 15 10 12

Russel Aproximation Method Δ11 = 5 – 8 – 10 = – 13 Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta - 15 8 - 13 5 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280 Ri 8 15 10 Tj 15 10 12

Russel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta -15 8 -13 5 -14 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang -22 3 -11 9 -12 Demmand 150 70 60 280 Ri 8 15 10 Tj 15 10 12

Russel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta -15 8 -13 5 -14 6 120 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 70 60 280 Ri 8 15 Tj 15 10 12

Russel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 -13 5 -14 6 120 70 Medan 15 -12 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 Ri 8 12 Tj 10 12

Russel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 50 Medan 15 -12 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 Ri 12 Tj 10 12

Russel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 50 Medan 15 10 -12 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 Ri 12 Tj 12

Russel Aproximation Method Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 50 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 TC = (70x8)+(50x6)+(70x10)+(10x12)+(80x3) = 1920

Metode Stepping Stone Setelah solusi dasar awal diperoleh dari masalah transportasi, langkah berikutnya adalah menekan kebawah biaya transpor dengan memasukkan variabel non basis (yaitu alokasi barang ke kotak kosong) ke dalam solusi. Proses evaluasi variabel non basis yang memungkinkan terjadinya perbaikan solusi dan kemudian mengalokasikannya kembali dinamakan metode Stepping Stone.

Stepping Stone Sumber Tujuan Supply 30 50 20 60 Demmand 280 5 – 10 + 15 – 8 = 2 Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta (-) 8 (+) 5 6 120 Medan 15 10 12 80 30 50 Semarang 3 9 20 60 Demmand 150 70 280

Stepping Stone Sumber Tujuan Supply 30 50 20 60 Demmand 280 6 – 10 + 9 – 10 + 15 – 8 = 3 Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta (-) 8 5 (+) 6 120 Medan 15 10 12 80 30 50 Semarang 3 9 20 60 Demmand 150 70 280

Stepping Stone Sumber Tujuan Supply 30 50 20 60 Demmand 280 120 (-) Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 (-) 10 (+) 12 80 30 50 Semarang 3 9 20 60 Demmand 150 70 280 12 – 10 + 9 – 10 = 1

Stepping Stone Sumber Tujuan Supply 30 50 20 60 Demmand 280 120 (-) Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan (-) 15 (+) 10 12 80 30 50 Semarang 3 9 20 60 Demmand 150 70 280 3 – 15 + 10 – 9 = – 11

Stepping Stone Iterasi Pertama Sumber Tujuan Supply 70 20 60 Demmand Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan (-) 15 (+) 10 12 80 70 Semarang 3 9 20 60 Demmand 150 280 Iterasi Pertama

Stepping Stone Sumber Tujuan Supply 70 20 60 Demmand 280 5 – 10 + 15 – 8 = 2 Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta (-) 8 (+) 5 6 120 Medan 15 10 12 80 70 Semarang 3 9 20 60 Demmand 150 280

Stepping Stone Sumber Tujuan Supply 70 20 60 Demmand 280 6 – 10 + 3 – 8 = – 9 Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta (-) 8 5 (+) 6 120 Medan 15 10 12 80 70 Semarang 3 9 20 60 Demmand 150 280

Stepping Stone Sumber Tujuan Supply 70 20 60 Demmand 280 120 (-) (+) Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan (-) 15 10 (+) 12 80 70 Semarang 3 9 20 60 Demmand 150 280 12 – 10 + 3 – 15 = – 10

Stepping Stone Sumber Tujuan Supply 70 20 60 Demmand 280 120 (+) (-) Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan (+) 15 (-) 10 12 80 70 Semarang 3 9 20 60 Demmand 150 280 9 – 3 + 15 – 10 = 11

Stepping Stone Iterasi Kedua Sumber Tujuan Supply 70 30 50 Demmand 280 Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan (-) 15 10 (+) 12 80 70 Semarang 3 9 30 50 Demmand 150 60 280 Iterasi Kedua

Stepping Stone Sumber Tujuan Supply 70 30 50 Demmand 280 5 – 10 + 12 – 10 + 3 – 8 = – 8 Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta (-) 8 (+) 5 6 120 Medan 15 10 12 80 70 Semarang 3 9 30 50 Demmand 150 60 280

Stepping Stone Sumber Tujuan Supply 70 30 50 Demmand 280 6 – 10 + 3 – 8 = – 9 Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta (-) 8 5 (+) 6 120 Medan 15 10 12 80 70 Semarang 3 9 30 50 Demmand 150 60 280

Stepping Stone Sumber Tujuan Supply 70 30 50 Demmand 280 120 (+) (-) Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan (+) 15 10 (-) 12 80 70 Semarang 3 9 30 50 Demmand 150 60 280 15 – 12 + 10 – 3 = 10

Stepping Stone Sumber Tujuan Supply 70 30 50 Demmand 280 120 (-) (+) Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 (-) 10 (+) 12 80 70 Semarang 3 9 30 50 Demmand 150 60 280 9 – 10 + 12 – 10 = 1

Stepping Stone Iterasi Ketiga Sumber Tujuan Supply 70 50 Demmand 280 Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta (-) 8 5 (+) 6 120 70 50 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 Iterasi Ketiga

Stepping Stone Optimum Sumber Tujuan Supply 70 50 Demmand 280 Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 50 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 C12 = 5 – 6 + 12 – 10 = 1 C21 = 15 – 8 + 6 – 12 = 1 C32 = 9 – 3 + 8 – 6 + 12 – 10 = 10 C33 = 10 – 3 + 8 – 6 = 9

Modified Distribution Dalam metode ini suatu nilai Ui, dirancang untuk setiap baris ke-i dan suatu nilai Vj untuk kolom ke-j pada tabel transportasi. Untuk setiap basis (yaitu kotak isi), Xij mengikuti hubungan seperti berikut : Ui + Vj = Cij, dimana Cij adalah biaya transpor per unit

Modified Distribution Tentukan nilai-nilai Ui untuk setiap baris dan nilai Vj untuk setiap kolom dengan menggunakan hubungan Cij = Ui + Vj untuk semua variabel basis dan tetapkan nilai nol (0) untk U1. Hitung perubahan biaya Cij untuk setiap variabel non basis dengan menggunakan rumus Cij = cij – Ui – Vj. Jika terdapat Cij negatif solusi belum optimal. Pilih variabel dengan nilai Cij negatif terbesar sebagai entering variable. Alokasikan barang ke entering variable Xij sesuai dengan proses stepping stone. Kembali ke langkah 1.

Modified Distribution 0 + V1 = 8, V1 = 8 U2 + 8 = 15, U2 = 7 7 + V2 = 10, V2 = 3 U3 + 3 = 9, U3 = 6 6 + V3 = 10, V3 = 4 X11 : U1 + V1 = C11 = 8 X21 : U2 + V1 = C21 = 15 X22 : U2 + V2 = C22 = 10 X32 : U3 + V2 = C32 = 9 X33 : U3 + V3 = C33 = 10 Cij = cij – Ui – Vj, menghasilkan nila Cij yang identik dengan stepping stone C12 = c12 – U1 – V2 = 5 – 0 – 3 = 2 C13 = c13 – U1 – V3 = 6 – 0 – 4 = 2 C23 = c23 – U2 – V3 = 12 – 7 – 4 = 1 C31 = c31 – U3 – V1 = 3 – 6 – 8 = (– 11)

Modified Distribution Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 30 50 Semarang 3 9 20 60 Demmand 150 70 280 Ui C12 = c12 – U1 – V2 = 5 – 0 – 3 = 2 C13 = c13 – U1 – V3 = 6 – 0 – 4 = 2 C23 = c23 – U2 – V3 = 12 – 7 – 4 = 1 C31 = c31 – U3 – V1 = 3 – 6 – 8 = (– 11) U1 = 0 U2 = 7 U3 = 6 Vj V1 = 8 V2 = 3 V3 = 4

Modified Distribution Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 70 Semarang 3 9 20 60 Demmand 150 280 Ui C12 = c12 – U1 – V2 = 5 – 0 – 3 = 2 C13 = c13 – U1 – V3 = 6 – 0 – 15 = (-9) C23 = c23 – U2 – V3 = 12 – 7 – 15 = (-10) C32 = c32 – U3 – V2 = 9 – (-5) – 3 = 11 U1 = 0 U2 = 7 U3 = (-5) Vj V1 = 8 V2 = 3 V3 = 15

Modified Distribution Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 Medan 15 10 12 80 70 Semarang 3 9 30 50 Demmand 150 60 280 Ui C12 = c12 – U1 – V2 = 5 – 0 – 13 = (-7) C13 = c13 – U1 – V3 = 6 – 0 – 15 = (-9) C21 = c21 – U2 – V1 = 15 – (-3) – 15 = 3 C32 = c32 – U3 – V2 = 9 – (-5) – 13 = 1 U1 = 0 U2 = (-3) U3 = (-5) Vj V1 = 8 V2 = 13 V3 = 15

Modified Distribution Sumber Tujuan Supply Surabaya Balikpapan Makassar Jakarta 8 5 6 120 70 50 Medan 15 10 12 80 Semarang 3 9 Demmand 150 60 280 Ui C12 = c12 – U1 – V2 = 5 – 0 – 4 = 1 C21 = c21 – U2 – V1 = 15 – 6 – 8 = 1 C32 = c32 – U3 – V2 = 9 – (-5) – 6 = 8 C33 = c33 – U3 – V3 = 10 – (-5) – 6 = 9 U1 = 0 U2 = 6 U3 = (-5) Vj V1 = 8 V2 = 4 V3 = 6 Optimum

Referensi: Hamdy A. Taha, Riset Operasi, Jilid 1, Binarupa Aksara, Jakarta, 1996. Siswanto, Operations Research, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2007. Selesai