Turunan Fungsi Parsial Pertemuan 12

Turunan Parsial Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan. Apabila y = f(x) maka turunannya hanyalah turunan y terhadap x, dengan kata lain y’ = dy / dx Bagaimana jika mengandung lebih dari satu variabel bebas? Kunci: Jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas, maka ia akan memiliki n macam turunan. Misalnya, jika y = f(x,z) maka akan terdapat 2 macam turunan, yaitu turunan y terhadap x (∂y / ∂x) dan turunan y terhadap z (∂y / ∂z).

Turunan Parsial Contoh: y = x3 + 5z2 – 4x2z – 6xz2 + 8z – 7 Karena memenuhi syarat y = f(x,z) maka jawaban untuk contoh diatas ada 2 jawaban. Jawaban 1  ∂y ∂x = 3x2 – 8xz – 6z2 Jawaban 2  ∂y ∂z = 10z – 4x2 – 12xz + 8

Turunan Parsial Kunci: Ketika mengoperasikan turunan y terhadap x, jika dalam satu variabel hanya terdapat ‘z’ tanpa ‘berteman’ dengan x, maka otomatis turunannya adalah 0. Berlaku juga sebaliknya ketika mengoperasikan turunan y terhadap z, jika dalam satu variabel terdapat unsur ‘x’ tanpa ‘berteman’ dengan z, maka otomatis turunannya adalah 0.

Turunan Dari Turunan Parsial Dalam contoh sebelumnya, ternyata baik jawaban 1 dan jawaban 2 masih dapat diturunkan secara parsial lagi. Sehingga ketika diperintahkan untuk mencari turunan parsial kedua dari fungsi awal tersebut, kedua turunan pertamanya akan bercabang masing-masing menjadi dua lagi. Jawaban 1.1: ∂y ∂x terhadap x  ∂2y ∂x2 = 6x – 8z Jawaban 1.2: ∂y ∂x terhadap z  ∂2y ∂x ∂z = -8x – 12z Jawaban 2.1: ∂y ∂z terhadap x  ∂2y ∂z∂x = -8x – 12z Jawaban 2.2: ∂y ∂z terhadap z  ∂2y ∂z2 = 10 – 12x

Turunan Dari Turunan Parsial Dan ternyata, turunan parsial kedua di slide sebelumnya (1.1) (1.2) (2.1) dan (2.2) masih bisa diturunkan parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z. Sehingga untuk masing-masing turunan parsial keduanya, akan didapatkan turunan parsial ketiganya sebagai berikut: Jawaban 1.1.a: ∂2y ∂x2 terhadap x  ∂3y ∂x3 = 6 Jawaban 1.1.b: ∂2y ∂x2 terhadap z  ∂3y ∂x2∂z = -8 Jawaban 1.2.a: ∂2y ∂x ∂z terhadap x  ∂3y ∂x2∂z = -8 Jawaban 1.2.b: ∂2y ∂x ∂z terhadap z  ∂3y ∂x∂z2 = -12

Turunan Dari Turunan Parsial Jawaban 2.1.a: ∂2y ∂z∂x terhadap x  ∂3y ∂z∂x2 = -8 Jawaban 2.1.b: ∂2y ∂z∂x terhadap z  ∂3y ∂z2∂x = -12 Jawaban 2.2.a: ∂2y ∂z2 terhadap x  ∂3y ∂z2∂x = -12 Jawaban 2.2.b: ∂2y ∂z2 terhadap z  ∂3y ∂z3 = 0

Turunan Parsial dan Nilai Ekstrim: Maksimum & Minimum Nilai-nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai turunan parsial keduanya. Ingat di bab sebelumnya, bahwa alternatif nilai yang memaksimumkan dan meminumkan fungsi yang tersedua, sudah bisa kita cari sejak selesainya turunan pertama, yaitu dengan mengkondisikan bahwa fungsi turunan pertama nya = 0 Pengujian apakah titik ekstrim yang ditemukan adalah maksimum atau minimum memiliki dua macam kondisi skenario: Jika turunan keduanya bernilai kurang dari nol ( ∂2y ∂x2 dan ∂2y ∂z2 < 0), maka titik ekstrimnya merupakan titik maksimum. Jika turunan keduanya bernilai lebih dari nol ( ∂2y ∂x2 dan ∂2y ∂z2 > 0), maka titik ekstrimnya merupakan titik minimum.

Turunan Parsial dan Nilai Ekstrim: Maksimum & Minimum Contoh: selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini merupakan titik maksimum ataukah titik minimum? y = -x2 + 12x – z2 + 10z – 45 Sub-Jawaban 1: ∂y ∂x = -2x + 12 dicari nilai x-nya  -2x + 12 = 0  2x = 12  x = 6 ∂2y ∂x2 = -2 < 0 Sub-Jawaban 2: ∂y ∂x = -2z + 10 dicari nilai z-nya  -2z + 10 = 0  2z = 12  z = 5

Turunan Parsial dan Nilai Ekstrim: Maksimum & Minimum Dari sub-jawaban 1 dan sub-jawaban 2, kita pastikan bahwa nilai keduanya kurang dari nol. Oleh karena itu, kita bisa mengatakan bahwa baik titik x = 6 dan z = 5 adalah titik ekstrim yang merupakan titik maksimum. Sedangkan jika kita diminta mencari y maksimumnya, maka kita tinggal substitusikan nilai ekstrim x dan z yang sudah kita dapatkan ke dalam fungsi awalnya. y maksimum = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 y maksimum = -36 + 72 – 25 + 50 – 45 y maksimum = 16

Turunan Parsial - Praktik Ekonomi Contoh: Misalkan laba total dari sebuah restoran Jepang tergantung dari penjualan menu sushi (dilambangkan x) dan ramen (dilambangkan y). Fungsi laba totalnya sendiri adalah di bawah ini: π = f(x,y) = 80x – 2x2 – xy – 3y2 + 100y Berapa nilai x ekstrim dan y ekstrim yang akan memaksimumkan laba? Berapa nilai laba maksimumnya itu sendiri?

Turunan Parsial - Praktik Ekonomi Step 1: Bentuk fungsi turunan parsial pertamanya ∂π ∂x = 80 – 4x – y  –4x – y + 80 = 0 ∂π ∂z = -x – 6y + 100  -x – 6y + 100 = 0 Step 2: Karena di turunan parsial pertama masih ada kedua variabel bebasnya, maka untuk mencari nilai x dan y di kasus ini adalah dengan cara “eliminasi” lalu “substitusi”. Sekarang, katakanlah kita akan mengeliminasi dulu variabel x-nya –4x – y + 80 = 0 (x1) -4x – y = -80 -x – 6y + 100 = 0 (x4) -4x – 24y = -400 23y = 320  y = 13,92

Turunan Parsial - Praktik Ekonomi Setelah mendapatkan nilai (y) ekstrimnya, maka substitusikan nilai (y) tersebut ke dalam salah satu fungsi turunan parsial pertamanya. –4x – (13,92) + 80 = 0  -4x + 66,08 = 0  4x = 66,08  x = 16,52 Step 3: Setelah tahu kedua titik ekstrim (yang pasti merupakan titik maksimum—karena konteks kasus ini adalah laba) maka substitusikan kedua titik/nilai ekstrim tersebut ke persamaan laba total yang awal. π = 80(16,52) – 2(16,52)2 – (16,52)(13,92) – 3(13,92)2 + 100(13,92) π = 1.356,52