NILAI HARAPAN DAN VARIANS PEUBAH ACAK HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

Konsep Peubah Acak Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU BILANGAN bilangan riil.

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB ILUSTRASI Percobaan: DuakepingmatauangdilemparRuangContoh : S={GG, GA, AG, AA} 𝑋={ 𝜔,𝑥 , 𝑥=# 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙} GG GA AG AA 2 1 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB ILUSTRASI 𝑋={ 𝜔,𝑥 , 𝑥=# 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙} 𝑋= 𝐴𝐴,0 , 𝐴𝐺,1 , 𝐺𝐴,1 , 𝐺𝐺,2 𝐷 𝑋 =𝑆={𝐴𝐴,𝐴𝐺,𝐺𝐴,𝐺𝐺} 𝑊 𝑋 ={0,1,2} Seringkalipeubahacak X hanyadituliskandaerahhasilnyasaja, yaitumenyatakannilai yang merepresentasikanhasilsuatupercobaanacak, sehingga 𝑋={0,1,2} HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

NILAI TENGAH PEUBAH ACAK Dua keping mata uang dilempar 1000 kali, maka X= # sisi gambar yang muncul X 1 2 freq 245 493 262 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

𝑥 =0×𝑓 𝑟 𝑥=0 +1×𝑓 𝑟 𝑥=1 +2×𝑓 𝑟 𝑥=2 𝑓 𝑟 𝑥=0 =𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑥= 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛→∞ 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓 𝑟 𝑥=0 ≡𝑃 𝑋=0 =𝑓(0) Penyajiansecarabersama- samaantarapeubahacakdannilaipeluangnyadisebuts ebagaisebaranpeluang

SEBARAN PELUANG PEUBAH ACAK X Sebaran peluang bagi peubah acak yang memetakan ruang contoh bagi pelemparan dua keping mata uang ke dalam gugus bilangan real dengan aturan pemetaan x menyatakan jumlah sisi gambar yang muncul, adalah sebagai berikut X 1 2 P(X=x)=f(x) 0.25 0.5 𝑃 𝑋=0 =𝑓 0 =0.25 𝑃(𝑋=1)=𝑓 1 =0.50 𝑃 𝑋=2 =𝑓 2 =0.25 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

NILAI TENGAH PEUBAH ACAK Nilaiharapan X = Nilaitengahpeubahacak X = E(X) 𝑓 𝑥 :𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑒𝑡 𝑓 𝑥 :𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑒𝑝𝑒𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 (𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢) Percobaan: Pelemparan dua keping mata uang Peubah acak X: jumlah sisi gambar yang muncul Sebaran Peluang X 1 2 P(X=x)=f(x) 0.25 0.5 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

NILAI TENGAH PEUBAH ACAK Y=2X+1 Y 1 3 5 P(Y=y)=f(y) 0.25 0.5 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

NILAI TENGAH PEUBAH ACAK Misalkan Kliwon memulai usaha pada awal tahun 2009, dengan modal 50 juta. Pada akhir tahun, Kliwon dapat untung/rugi maksimum sebesar modal yang dimilikinya. Jika peluang untung/rugi untuk sembarang nilai keuntungan/ kerugian diasumsikan sama, tentukan fungsi kepekatan peluang dan nilai tengah dari peubah acak tersebut (p.a. X). Tentukan pula nilai tengah dari peubah acak Y = X^2 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

Nilai Harapan X dan Nilai Harapan Y HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB Ragam peubah acak X HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

Sifat nilai tengah dan ragam 𝜇 𝑋±𝑌 = 𝜇 𝑋 ± 𝜇 𝑌 𝜎 𝑋±𝑌 2 = 𝜎 𝑋 2 + 𝜎 𝑌 2 ±𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌 𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌 =𝐸 𝑋− 𝜇 𝑋 𝑌− 𝜇 𝑌 Jika X dan Y salingbebas 𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌 =0 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB Soal Suatu peubah acak diskret X mempunyai fungsi kepekatan peluang untuk x=0, 1, 2, 3 Tentukan nilai tengah dan ragam X HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB Diketahui sebuah peubah acak X memiliki sebaran seperti disamping. Hitunglah x -3 6 9 P(X=x) 1/6 1/2 1/3 𝜇 𝑔(𝑥) 𝑑𝑎𝑛 𝜎 𝑔(𝑥) Jikadiketahui𝑔 𝑥 = 2𝑋+1 2 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB Bila X dan Y memilikisebaranseperti padatabel, Tentukan 1. 2. 𝜇 𝑋+𝑌 𝑑𝑎𝑛 𝜎 𝑋+𝑌 2 y x 1 2 3 1/6 1/12 1/5 1/9 2/15 1/4 1/18 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB