BAB II Galat & Analisisnya

Galat - error Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan terhadap nilai eksak Ada 3 macam kesalahan dasar; Galat bawaan Galat pemotongan Galat pembulatan

Galat Relatif dan Absolut Galat absolut suatu bilangan adalah selisih antara nilai sebenarnya (dengan anggapan telah diketahui) dgn suatu pendekatan pada nilai sebenarnya. Hubungan antara nilai eksak (nilai sebenarnya), nilai perkiraan dan kesalahan diberikan dalam bentuk : dimana : x = nilai eksak = pendekatan pd nilai sebenarnya e = kesalahan 3

e kesalahan absolut Kesalahan relatif Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan. Contoh : Kesalahan 1 cm pd. pengukuran pensil akan sangat terasa dibanding dengan kesalahan yg sama pd pengukuran panjang jembatan. Kesalahan relatif kesalahan absolut dibagi nilai pendekatan galat absolut dibagi nilai sebenarnya Nilai eksak bila diselesaikan secara analitis Metode numerik nilai eksak tidak diketahui Kesalahan diberikan (berdasar pd nilai terbaik dari nilai eksak) 4

nilai perkiraan terbaik Dalam metode numerik pendekatan iteratif Perkiraan sekarang dibuat berdasar perkiraan sebelumnya, sehingga : dimana : = nilai perkiraan pada iterasi ke n = nilai perkiraan pada iterasi ke n+1 5

“Hasil Pengukuran Jembatan lebih baik dari hasil pengukuran paku” Contoh-2 : Hasil pengukuran sebuah jembatan = 9.999 cm Hasil pengukuran sebuah paku = 9 cm Jika nilai sebenarnya berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, Hitung Kesalahan dan Kesalahan relatif persen dari kedua hasil pengukuran diatas. Kesalahan: Jembatan : Et = 10.000 – 9.999= 1 cm Paku : Et = 10 – 9 = 1 cm Kesalahan relatif: Jembatan : et = 1/10.000 * 100%= 0,01% Paku : et = 1/10 * 100% = 10% Kesimpulan : “Hasil Pengukuran Jembatan lebih baik dari hasil pengukuran paku”

es = (0,5 * 102-n) % Kesalahan Relatif Persen Aproksimasi (ea) ea = (Kesalahan Aproksimasi / Aproksimasi ) * 100 % = (Aproksimasi sekarang - Aproksimasi sebelumnya) / Aproksimasi sekarang * 100 % Pada proses iterasi, iterasi dihentikan jika telah memenuhi kondisi |ea| < es Dimana es = tingkat kesalahan yang masih dapat diterima Hubungan es dengan angka signifikan es = (0,5 * 102-n) %

Contoh : (Taksiran Kesalahan Metode Iterasi): Dalam matematika fungsi-fungsi dapat dinyatakan dalam deret tak hingga. Jadi, jika lebih banyak suku ditambahkan kedalam deret maka aproksimasi menjadi taksiran yang jauh lebih baik. Misal ingin menaksir nilai ex, dengan x=0,5 mengunakan pendekatan deret, menggunakan 3 angka signifikan (e0,5 = 1.648721271) Taksiran ke-1 Taksiran ke-2

Galat bawaan (Inheren) Galat dalam nilai data Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur. Contoh : Pengukuran selang waktu 2,3 detik : Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu kebetulan selang waktu akan diukur tepat 2,3 detik. Beberapa batas yg mungkin pada galat inheren diketahui : 2,3± 0,1 detik Berhub dg galat pd data yg dioperasikan oleh suatu komputer dg beberapa prosedur numerik.

Galat Pemotongan (Truncation Error) Pengertian galat pemotongan biasanya merujuk pada galat yang disebabkan oleh penggantian ekspresi matematika yang rumit dengan rumus yang lebih sederhana. Istilah ini berawal dari kebiasaan mengganti suatu fungsi rumit dengan deret Taylor terpotong (hanya diambil berhingga suku). CONTOH Kita tahu bahwa deret konvergen ke nilai 1. Jika hanya diambil 10 suku pertama, maka diperoleh hampiran Dalam hal ini terdapat galat pemotongan sebesar Dari kalkulus kita ketahui bahwa   Misalkan diketahui Cos1,5 = 0,070737 . Jika nilai ini dihampiri dengan mengambil empat suku pertama deret tersebut, maka diperoleh hampiran yang senilai Dibulatkan sampai enam angka desimal. Galat hampiran tersebut sebesar 0,000550 = 0,550x10-3 dan galat relatifnya senilai 0,007753 < 0,5x10-1 . Jadi nilai hampiran tersebut benar sampai satu angka signifikan.

Galat Pembulatan Akibat pembulatan angka Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka : Penjumlahan 9,2654 + 7,1625 hasilnya 16,4279 Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi 16,428

Galat Pemotongan (Truncation Error) Berhubungan dg cara pelaksanaan prosedur numerik Contoh pada deret Taylor tak berhingga : Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian Jelas kita tdk dapat memakai semua suku dalam deret, karena deretnya tak berhingga Kita berhenti pada suku tertentu misal x9 Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting

Deret Taylor Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial. Jika fungsi f(x) diketahui di titik xi Semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik tersebut. Dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yg terletak pada jarak Dx dari titik xi. dimana : = fungsi di titik x = fungsi di titik x i + 1 = turunan pertama, kedua, …. ke n dari fungsi 13

= jarak antara xi dan xi + 1 = kesalahan pemotongan ! = operator faktorial, misal 2! = 1 x 2 Kesalahan pemotongan Rn : Order nol (Memperhitungkan satu suku pertama) Perkiraan akan benar bila fungsi yg diperkirakan adalah konstan Order 1 (Memperhitungkan dua suku pertama) Berupa garis lurus ( naik/turun ) 14

Gb. Perkiraan suatu fungsi dgn deret Taylor. Order 2 (Memperhitungkan tiga suku pertama) Gb. Perkiraan suatu fungsi dgn deret Taylor. f(x) Order 2 Order 1 Order 0 x xi+1 i y

Kesalahan Pemotongan pada Deret Taylor Indek n deret yg diperhitungkan sampai suku ke n Indek n +1 kesalahan pemotongan mempunyai order n+1 Kesalahan pemotongan akan kecil bila : Interval D x adalah kecil Memperhitungkan lebih banyak suku deret Taylor Pada perkiraan order 1 besar kesalahan pemotongan : 16