PEMOGRAMAN LINEAR ALGORITMA SIMPLEKS TEORI PGB. KEPUTUSAN PEMOGRAMAN LINEAR ALGORITMA SIMPLEKS Ari Darmawan, Dr. SAB. MAB

Pendahuluan Algoritma adalah suatu prosedur matematis berulang untuk menyelesaikan suatu persoalan. Algoritma simpleks adalah sebuah prosedur matematis berulang untuk menemukan penyelesaian optimal soal pemrograman linear Algoritma simpleks menghendaki suatu bangun matematik tertentu agar pengujian titik-titik sudut itu bisa dilakukandengan cara menguji titik-titik sudutnya.

Slack Variable Slack variable adalah variabel yang berfungsi untuk menampung sisa kapasitas pada kendala yang berupa pembatas. Slack variable berfungsi untuk membuat nilai ruas kiri sama dengan nilai ruas kanannya. Semakin jauh (X1 , X2) dari garis kendala semakin besar nilai S, dan sebaliknya semakin dekat (X1 , X2) ke garis kendala semakin kecil nilai S dan akan mencapai nol pada saat tepat berada di garis kendala.

Slack Variable Contoh:  X1 + X2 ≤ 6 …………….. (1)  Jika diketahui dua titik koordinat yaitu: A (2,1) dan B ( 3,3)  Titik A: X1 + X2 ≤ 6 2 + 1 ≤ 6 3 ≤ 6 (kedua ruas tidak sama) Titik B: X1 + X2 ≤ 6 3 + 3 ≤ 6 6 ≤ 6 (kedua ruas sama)

Slack Variable

Slack Variable  Untuk menyelesaikan permasalahan kedua ruas tidak sama, maka diperlukan untuk menambahkan variabel baru yang berfungsi untuk menampung selisih. Persamaan yang baru: X1 + X2 + S = 6 …………….. (2)  Ilustrasi:

Slack Variable

Slack Variable Kendala Aktif Kendala aktif adalah kendala yang membentuk titik sudut ekstrem. Kendala aktif berkaitan erat dengan slack variable. Contoh: 1) Fungsi Tujuan: Maks 40X1 + 30 X2 Terhadap kendala-kendala: 2) 2X1 + X2 ≤ 20 3) 2X1 + 3X2 ≤ 32 4) 2X1 – X2 ≥ 0 5) X2 ≥ 2

Slack Variable Kendala Aktif Berdasarkan pada gambar, diketahui titik koordinat maksimasi adalah pada titik C (7, 6), maka: > 2X1 + X2 ≤ 20 2X1 + X2 + S = 20 2 (7) + (6) + S = 20 14 + 6 + 0 = 20  S = 0 > 2X1 + 3X2 ≤ 32 2X1 + 3X2 + S = 32 2 (7) + 3 (6) + 0 = 32 14 + 18 + 0 = 32  S = 0

Slack Variable Kendala Aktif Kesimpulan: 1. Slack Variable pada setiap kendala aktif pasti bernilai nol. 2. Slack Variable pada setiap kendala tidak aktif pasti bernilai positif.

Surplus Variable Surplus variable yang akan dihadirkan untuk membuat nilai ruas kiri sama dengan nilai ruas kanan Agar nilai ruas kiri sama dengan nilai ruas kanannya, kita perlu menghadirkan sebuah variabel baru dengan notasi “S" yang akan berfungsi uncuk menampung kelebihan nilai ruas kiri  variabel itu harus berkoefisien "-1“ Surplus variable adalah variabel yang berfungsi untuk menampung kelebihan nilai ruas kiri pada kendala.

Surplus Variable Contoh:  X1 + X2 ≥ 6  Jika diketahui dua titik koordinat yaitu: A (6,4) dan C (4,4)  Titik A: X1 + X2 ≥ 6 6 + 4 ≥ 6 10 ≥ 6 (kedua ruas tidak sama) Titik C: X1 + X2 ≥ 6 4 + 4 ≥ 6 8 ≥ 6 (kedua ruas tidak sama)

Surplus Variable

Surplus Variable Kendala Aktif Kendala aktif adalah kendala yang membentuk titik sudut ekstrem. Kendala aktif berkaitan erat dengan slack variable. Contoh: 1) Fungsi Tujuan: Min 20X1 + 30X2 Terhadap kendala-kendala: 2) 2X1 + X2 ≥ 10 5) X1 – 8X2 ≤ 0 3) X1 + 2X2 ≤ 14 6) X1 ≤ 8 4) X1 + 4X2 ≥ 12

Surplus Variable Kendala Aktif Berdasarkan pada gambar, diketahui titik koordinat maksimasi adalah pada titik A (4, 2), maka: > 2X1 + X2 ≥ 10 2X1 + X2 – S = 10 2 (4) + 2 – S = 10 8 + 2 – 0 = 10  S = 0 > X1 + 4X2 ≥ 12 X1 + 4X2 – S = 12 4 + 4 (2) – S = 12 4 + 8 – 0 =12  S = 0

Surplus Variable Kendala Aktif Kesimpulan: 1. Surplus variable pada setiap kendala aktif pasti bernilai nol 2. Surplus variable pada setiap kendala tidak aktif pasti bernilai positif

Titik Sudut dan Karakteristik Variabel Slack Variable dan Surplus Variable dipandang sebagai variabel-variabel di dalam model pemrograman linear di samping variabel-variabel keputusan. Nilai variabel-variabel tersebut hanya mungkin bernilai nol atau positif

Titik Sudut dan Karakteristik Variabel Contoh: > Diketahui empat titik sudut: titik A (1,2), titik B (9,2), titik C (7,6), titik D (4,8) > Fungsi kendala-kendalai sbb: 1) 2X1 + X2 ≤ 20 2) 2X1 + 3X2 ≤ 32 3) 2X1 – X2 ≥ 0 4) X2 ≥ 2

Titik Sudut dan Karakteristik Variabel Setelah dimasukan slack variable dan surplus variable: 1) 2X1 + X2 + S1 = 20 2) 2X1 + 3X2 + S2 = 32 3) 2X1 – X2 – S3 = 0 4) X2 – S4 = 2

Titik Sudut dan Karakteristik Variabel Titik A (1,2) 2X1 + X2 ≤ 20 2X1 + X2 + S1 = 20 2 (1) + (2) + S1 = 20 2 + 2 + 16 = 20  S1 = 16 Titik A (1,2) 2X1 + 3X2 ≤ 32 2X1 + 3X2 + S2 = 32 2 (1) + 3 (2) + S2 = 32 2 + 6 + 24 = 32  S2 = 24

Titik Sudut dan Karakteristik Variabel Titik A (1,2) 2X1 – X2 ≥ 0 2X1 – X2 – S3 = 0 2 (1) – (2) – S3 = 0 2 – 2 – 0 = 0  S3 = 0 Titik A (1,2) X2 ≥ 2 X2 – S4 = 2 (2) – S4 = 2 2 – 0 = 2  S4 = 0

Titik Sudut dan Karakteristik Variabel Titik B (9,2) 2X1 + X2 ≤ 20 2X1 + X2 + S1 = 20 2 (9) + (2) + S1 = 20 18 + 2 + 0 = 20  S1 = 0 Titik B (9,2) 2X1 + 3X2 ≤ 32 2X1 + 3X2 + S2 = 32 2 (9) + 3 (2) + S2 = 32 18 + 6 + 8 = 32  S2 = 8

Titik Sudut dan Karakteristik Variabel Titik B (9,2) 2X1 – X2 ≥ 0 2X1 – X2 – S3 = 0 2 (9) – (2) – S3 = 0 18 – 2 – 16 = 0  S3 = 16 Titik B (9,2) X2 ≥ 2 X2 – S4 = 2 (2) – S4 = 2 2 – 0 = 2  S4 = 0

Titik Sudut dan Karakteristik Variabel Kesimpulan: 1. Jumlah variabel-variabelyang bernilai nol pada setiap titik sudut paling sedikit dua, 2. Jumlah variabel-variabel positif pada setiap titik sudut paling banyak sama dengan jumlah

Titik Sudut Degenerate dan Non Degenerate Titik sudut degenerate adalah titik sudut di mana jumlah variabel yang bernilai nol lebih dari dua sehingga jumlah variabel itu sama dengan jumlah kendala yang melewati titik sudut itu. Titik sudut non degenerate adalah titik sudut di mana jumlah variabel yang bernilai nol sebanyak dua sehingga jumlah variabel itu sama dengan jumlah kendala yang melewati titik sudut itu.

Titik Sudut Degenerate dan Non Degenerate Contoh: Fungsi tujuan: Min 20X1 + 30X2 Terhadap kendala-kendala: 1) 2X1 + X2 ≥ 10 2) X1 + 2X2 ≤ 14 3) X1 + 4X2 ≥ 12 4) X1 – 8X2 ≤ 0 5) X1 ≤ 8

Titik Sudut Degenerate dan Non Degenerate Tambahan variabel pada kendala-kendala tetsebut adalah sebagai berikut: 1) 2X1 + X2 – S1 = 10 2) X1 + 2X2 + S2 = 14 3) X1 + 4X2 – S3 = 12 4) X1 – 8X2 + S4 = 0 5) X1 + S5 = 8

Titik Sudut Degenerate dan Non Degenerate

Variabel Basis dan Non Basis Variabel non basis adalah variabel yang bernilai nol Variabel basis adalah variabel yang bernilai positif Jumlah variabel basis akan selaiu sama dengan jumlah kendalanya pada setiap kasus pemrograman linear di mana seluruh titik sudutnya adalah degenerate

Variabel Basis dan Non Basis Contoh: 2X1 + X2 + S1 = 20 2X1 + 3X2 + S2 = 32 2X1 – X2 – S3 = 0 X2 – S4 = 20

Variabel Basis dan Non Basis

SAMPAI KETEMU PADA PERTEMUAN BERIKUTNYA TEORI PGB. KEPUTUSAN SAMPAI KETEMU PADA PERTEMUAN BERIKUTNYA