Pertemuan 2 (Himpunan Bilangan) .::Erna Sri Hartatik::.

Himpunan bilangan dan skemanya

Skema Himpunan Bilangan

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif. Ex: N = {1,2,3,4,5,6,......} Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1. Ex: P = {2,3,5,7,11,13,....} 

Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol. Ex: C = {0,1,2,3,4,5,6,....} Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif. Ex: B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai: p/q dimana p,q  bulat dan q 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang. Contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang. contoh: log 2, e, 7

Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional. contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3 Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru. contoh: i, 4i, 5i

Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner. contoh: 2-3i, 8+2

Bilangan bulat

Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan : Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …) Nol : 0 Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1) Himpunan Bilangan bulat A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }

Garis bilangan bulat  -1 -2 -3 1 2 3 4 -4 -1 -2 -3 1 2 3 4 -4  bilangan bulat positif bilangan bulat Negatif Bilangan nol Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil : Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … } Bilangan yang habis dibagi dengan 2 Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … } Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

Operasi Hitung Bilangan Bulat Penjumlahan Sifat Asosiatif  ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Sifat Komutatif  a + b = b + a Unsur Identitas terhadap penjumlahan  a + 0 = 0 + a Unsur invers terhadap penjumlahan  a + (-a) = (-a) + a Bersifat tertutup  a dan b ∈ bilangan bulat maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat

Pengurangan Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : a – b = a + (-b) Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku a – b ≠ b - a (a – b ) – c ≠ a – ( b – c ) Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat : a – 0 = a dan 0 – a = -a Bersifat tertutup  a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat

Perkalian a x b = ab , a x –b = -ab , -a x -b = ab Sifat Asosiatif  (a x b) x c = a x (b x c) Sifat komutatif  a x b = b x a Sifat distributif  a x (b+c) = (a x b ) + (a x c) Unsur identitas untuk perkalian a x 0 = 0 atau a x 1 = 1 x a = a Bersifat tertutup a x b = c a, b, c ∈ bilangan bulat

Pembagian Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif  (+) : (+) = (+) Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif  (-) : (-) = (+) Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif  (+) : (-) = (-) atau (-) : (+) = (-) Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi  a : 0  (~) atau 0 : a 0 (nol) Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif a : b ≠ b : a atau (a:b):c ≠ a : (b:c) Bersifat tidak tertutup

Pemangkatan bilangan bulat Contoh : 3 4 = 4 x 4 x 4 = 64 5 3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

Akar pangkat dua Akar kuadrat (akar pangkat dua)

Akar kubik (akar pangkat tiga)

Bilangan Riil

Notasi dari himpunan bilangan riil adalah   dinyatakan sebagai garis lurus x є  dibaca x (sembarang bilangan) anggota dari  Jika x є  dinyatakan sebagai suatu titik di garis  x Bilangan x terletak antara -a dan a dengan titik pusatnya 0 -a a x

Urutan Pada Garis Bilangan Riil Misalkan: x < y dibaca x berada di sebelah kiri y atau x lebih kecil dari y x > y dibaca x berada di sebelah kanan y atau y lebih kecil dari x  x y x<y x>y  dibaca “ jika dan hanya jika” x < y  y-x positif

Sifat–sifat bilangan real Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

Penambahan  x<y  x+z <y+z Relasi urutan  dibaca “kurang dari atau sama dengan”  dibaca “lebih dari atau sama dengan” x  y  y - x positif atau nol

Selang (interval) himpunan bilangan real tertentu yang didefinisikan dan dilambangkan sebagai berikut: Penulisan Penulisan himpunan Grafik (a,b) {x є  | a < x < b} [a,b] {x є  | a ≤ x ≤ b} [a,b) {x є  | a ≤ x < b} (a,b] {x є  | a < x ∞ b} (a,∞) {x є  | x > a} [a, ∞) {x є  | x ≥ a} (-∞,b) {x є  | x < b} (-∞,b] {x є  | x ≤ b} (-∞, ∞)  a b