Penerapan selain sebaran Normal

Penerapan selain sebaran Normal : Waktu yang ditempuh sampai terjadinya sesuatu, dalam statistika dikenal sebagai masa-hidup (lifetime, survival time atau failure time). Beberapa pola sebaran yang umum dipakai untuk memodelkan masa hidup antara lain adalah eksponensial, Weibull atau log normal. Fungsi peluang eksponensial adalah : f (t) =  exp (-t) , untuk t > 0 dan  > 0 Sedangkan fungsi peluang Weibull: f (t) =  (t) -1 exp (-t) , untuk t > 0 dan  > 0 dan  > 0 Jika parameter  = 1 fungsi peluang Weibull akan menjadi fungsi peluang eksponensial.

Data merupakan hasil pengamatan terhadap waktu terjadinya kerusakan pada alat penyejuk (AC) dalam sebuah pesawat terbang Boeing 720. Pengamatan didasarkan pada 29 kali kegagalan yang terjadi berturut-turut. Pengamatan pertama adalah waktu (jam) antara saat mulai berfungsi hingga terjadi kegagalan pertama, dst. Ingin diperiksa apakah data tersebut merupakan kejadian bebas atau dapat domodelkan oleh fungsi peluang eksponensial?

Pola dalam plot Q-Q secara keseluruhan tidak menunjukkan adanya keanehan. kalaupun ada hal ini mungkin disebabkan oleh adanya pembulatan-pembulatan yang terjadi dalam penyusunan plot sehingga terlihat adanya beberapa titik yang mengumpul pada satu barisan.

Fungsi peluang Weibull adalah model parametrik yang cukup populer untuk memodelkan lama waktu munculnya tumor. Oleh karena fungsi eksponensial merupakan bentuk khusus dari fungsi Weibull dengan b=1 dan keduanya dapat dipakai untuk menerangkan perilaku data masa-hidup maka kita dapat memeriksa kesesuaian model dari suatu data tertenru dengan patokan salah satu dari kedua fungsi tersebut.

Sebagai ilustrasi, kita akan melihat data tentang lama waktu munculnya tumor pada tikus-tikus percobaan. Sejumlah tikus betina diberi zat Carcinogen pada hari ke-nol, kemudian dipelihara selama 60 hari dengan pemberian “retynil acetate” untuk mengurangi kemungkinan tumor. Pada hari ke-60 tikus-tikus yang masih bebas tumor dibagi menjadi dua grup secara acak, grup yang pertama tetap menerima perlakuan retinoid dan grup kedua tanpa perlakuan lagi, percobaan ini dihentikan pada hari ke-182. Selama masa percobaan dilakukan pengamatan terhadap perkembangan tumor baik jumlah maupun masa terjadinya.

Data berikut berasal dari 25 ekor tikus yang termasuk grup tanpa perlakuan dan hanya tentang waktu (dalam hari) munculnya tumor yang pertama

PLOT Q-Q UNTUK MODEL EKSPONENSIAL

PLOT Q-Q UNTUK MODEL WEIBULL Dengan patokan garis lurus yang terbentuk, nampak bahwa fungsi peluang eksponensial lebih cocok bagi data ini dibandingkan dengan model Weibull. Meskipun demikian kita harus hati-hati karena proses penetapan model yang terbaik memerlukan analisis yang lebih lanjut.

Fungsi peluang eksponensial dengan parameter skala  1/ t f Nilai Kuantil : pi = 1 - exp {- Q(pi)} atau Q(pi) = - -1 ln(1-pi)

Fungsi peluang Weibull dengan (  = 1.0 ;  = 0.5, 1.5, 3.0 ) 1 t f 2 3 3.0 1.5  =0.5 Nilai Kuantil : pi = 1 - exp {-(.Q(pi))} ln Q(pi) = -ln  +  -1 ln {-ln(1-pi)}