Polinomial Tujuan pembelajaran : Menjelaskan algoritma pembagian sukubanyak. Menentukan derajat sukubanyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian. Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear atau kuadrat. Menentukan sisa pembagian sukubanyak dengan teorema sisa atau teorema faktor.

A. Pengertian Polinomial dan Operasinya Kolah kamar mandi Andi berbentuk balok. Dengan panjang kolah adalah 2 dm lebih dari lebarnya, Sedangkan tingginya 1 dm lebih dari lebarnya. Jika kolah tersebut diisi air hingga penuh, volume Air yang mampu ditampung adalah 120 liter. Bagaimana model matematikanya? Penyelesaiannya : Misal, x = lebar kolah dan V(x) = volumenya, sehingga Panjang = x + 2 dan tinggi = x + 1 Volume = panjang x lebar x tinggi V(x) = (x + 2)(x)(x + 1) = x3 +3x2 + 2x Disebut polinomial/ sukubanyak Bentuk x3 + 3x2 + 2x

anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ...+ a2 x2 + a1x + a0 Coba : 1. (x – 1)(x + 2) = x2 + x - 2 2. x(x – 1)(x + 2) = x(x2 + x – 2)=x3 + x2 – 2x 3. x2 (x – 1)(x + 2) = x2(x2 + x – 2)=x4 + x3 – 2x2 Bentuk umum : anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ...+ a2 x2 + a1x + a0 Operasi-operasi polinomial Ex 1. 1. (3x2 + 4x – 1) + (2x4 + x2 – 5x + 4) 2. (3x2 + 4x + 1) - (4x4 + x2 + x + 3) 3. (7x2 + 4x – 8) + (2x4 + x2 – 5x ) 4. (x2 + 4x) + (x4 + 3x2 – 5x )

Ex 2. Diketahui : p(x) = ax2 + bx + 7 q(x) = 3x2 + (a + b)x2 + (a – b)x – 8 r(x) = 3x3 + 7x2 + 2x – 1 Jika r(x) = p(x) + q(x), tentukan nilai a dan b. Ex 3. Diketahui : Tentukan nila A dan B

Tugas 1 15 Juli 2014 Tentukan nilai a dan b pada sukubanyak berikut jika berlaku p(x) + q(x)= r(x). a. p(x) =4x5 + ax2 + (a – 3)x + 3 q(x) = 2x4 – x3 + 2bx2 + (2b + 1)x + 1 r(x) = 4x5 + 2x4 – x3 + 5x2 + 3x + 4 b. p(x) =x4 + (a + b)x3 – 2x2 + x – 1 q(x) = 2bx3 + 2x2 + (a – 3b) r(x) = x4 + 7x3 + x – 6 Tentukan nilai a, b, dan c : a. 2ax2 + (a + 2b)x + (c – 2a) ≡ 3x2 – x + 8

b. 3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut : a.(2x3 + 3x2 + 4x + 1) : (x + 1) b x4 + 2x3 – 4x2 + 7x – 4 : (x – 3)

B. Pembagian Sukubanyak 1. Pembagian Bersusun Ex. 4 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian : 2. Pembagian dengan cara Horner a. Pembagi bentuk linear ( x – k ) Bentuk : f(x) = ( x – k ) H(x) + S Misal : dibagi ( x – k ) Maka hasil baginya : Sisa :

Ex. 5 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian : b. Pembagi bentuk linear ( ax + k ) Ex. 6 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :

c. Pembagi bentuk kuadrat ax2 + bx + c, a ≠ 0 Ex. 7 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 2x4 – 4x3 + 11x2 – 3x + 9 oleh x2 – 2x + 3 Sehingga : f(x) = (x2 – 2x + 3)H(x) + (px + q) C. Teorema Sisa Jika sukubanyak P(x) berderajat n dibagi ( x – h ) maka sisa pembagiannya adalah P(h) Bukti : pandang P(x) = ( x – h ).H(x) + S Dengan x – h = 0 atau x = h, diperoleh : P(h) = 0 . H(h) + S P(h) = 0 + S S = P(h)

Ex. 7 .Tentukan sisa dari pembagian sukubanyak P(x) = x2 – 6x – 8 dengan x + 1. Ex. 8 .Jika sukubanyak f(x) dibagi ( x – 1 ) bersisa 2 dan f(x) dibagi dengan ( x + 2) bersisa – 1, tentukan sisanya jika f(x) dibagi ( x – 1 )(x + 2 ).

Tugas 2 kelompok Tentukan hasil bagi dan sisa pembagiannya : a. (2x4 – 3x3 + 5x – 2) : (x2 – x – 2 ) b. (3x8 – 4x4 – 5 ) : (x2 – 3x – 4 ) Jika P(x) dibagi oleh (x– 2) dan (x +3) masing-masing bersisa 5 dan - 10. tentukan sisanya jika P(x) dibagi (x2 + x – 6 ). 3. Tentukan nilai p agar 4x2 – 12x + p habis dibagi 2x – 1. Tentukan nilai p dan q jika sukubanyak P(x) = 2x3 – px 2 + 4x + q habis dibagi 2x2 + x – 1 . Sukubanyak P(x) habis dibagi x + 1 dan dibagi x2 – 4 bersisa 4x + 16. tentukan sisa pembagian P(x) oleh (x2 – 4)(x + 1).

D. Teorema Faktor Jika f(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0 Artinya: Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0 sebaliknya, 2. jika P(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor

Ex. 9 Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1 Jawab: (x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0 P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1 = -1 + 4 – 2 – 1 = 0 Jadi, (x + 1) adalah faktornya. Ex. 10 Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 Jawab: Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu

pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh: P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6 = 2 – 1 – 7 + 6 = 0 Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6 Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan pembagian horner: -6 + 2 1 2 1 -6 Koefisien hasil bagi

Koefisien sukubanyak P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 adalah 2 -1 -7 6 k = 1 Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6 + 2 1 -6 2 1 -6 Koefisien hasil bagi Karena hasil baginya adalah H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) dengan demikian 2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6) 2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2) Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)

E. Akar-akar Rasional Persamaan Sukubanyak Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan sukubanyak, karena ada hubungan antara faktor dengan akar-akar persamaan sukubanyak Jika P(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0 k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak: P(x) = 0 Teorema Akar-akar Rasional Jika P(x) =anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao dan (x – k) merupakan faktor dari P(x) maka

Ex. 11 Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 – 7x + 6. Kemudian tentukan akar-akar yang lain. Jawab: Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan bahwa P(-3) = 0 P(x) = x3 – 7x + 6. P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0 Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar dari Persamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0

Untuk menentukan akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3 dengan pembagian Horner sebagai berikut P(x) = x3 – 7x + 6 berarti koefisien P(x) adalah 1 0 -7 6 k = -3 Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2 =(x – 1)(x – 2) -3 9 -6 + 1 -3 2 Koefisien hasil bagi

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2 sehingga persamaan sukubanyak tsb dapat ditulis menjadi (x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0. Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2 Ex. 12 Tentukan akar-akar rasional dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0. Karena persamaan sukubanyak berderajat 4, maka akar akar rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2

Misal : an xn +an-1 xn-1 +....+ a1x + a0 = 0, dengan a0 ≠ 0 i). Jika sebuah bilangan rasional, Dimana b = faktor bulat dari a0 c = faktor bulat dari an Algoritma penentuan akar rasional polinom P(x) = 0 ii). 1. Selidiki apakah jumlah koefisien P(x) = 0 @ Jika ya, maka x = 1 merupakan akar dari P(x) = 0 ? @ Jika tidak, lakukan langkah berikut. 2. Periksa apakah jumlah koefisien variabel berpangkat genap sama dengan jumlah koefisien berpangkat ganjil. @ Jika ya, maka x = -1 merupakan akar dari P(x) = 0 @ Jika tidak, lakukan langkah berikut. 3. Tentukan faktor-faktor dari nilai nutlak a0, lakukan dengan cara coba-coba.

Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-akar rasional persamaan sukubanyak tsb, kita coba nilai 1 Koefisien x4 – 3x2 + 2 = 0 adalah 1, 0, -3, 0, dan 2 1 0 -3 0 2 k = 1 Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya, Selanjutnya kita coba -1. Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2 1 1 -2 -2 + 1 1 -2 -2

1 1 -2 -2 k = -1 Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya, Sehingga: (x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0 -1 2 + 1 -2 Untuk : (x2 – 2) dapat difaktorkan lagi menjadi (x - √2)(x + √2) = 0 Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan rasional. Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.

(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0 (x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi (x - √2)(x + √2) = 0 Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan rasional. Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Sukubanyak

Persamaan Sukubanyak: Jika akar-akar Persamaan Sukubanyak: ax3 + bx2 + cx + d = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka x1 + x2 + x3 = x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = x1.x2.x3 =

Contoh 1: Jumlah akar-akar persamaan x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah…. Jawab: a = 1, b = -3, c = 0, d = 2 x1 + x2 + x3 = = = 3

Contoh 2: Hasilkali akar-akar persamaan 2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah…. Jawab: a = 2, b = -1, c = 5, d = -8 x1.x2.x3 = = = 4

Contoh 3: Salah satu akar persamaan x3 + px2 – 3x – 10 = 0 adalah -2 Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah….

Jawab: -2 adalah akar persamaan x3 + px2 – 3x - 10 = 0 → -2 memenuhi persamaan tsb. sehingga: (-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) - 10 = 0 -8 + 4p + 6 – 10 = 0

-8 + 4p + 6 – 10 = 0 4p – 12 = 0  4p = 12 p = 3 Persamaan tersebut: x3 + 3x2 – 3x – 10 = 0 Jumlah akar-akarnya: x1 + x2 + x3 = = = -3

Contoh 4: Akar-akar persamaan x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12 + x22 + x32 =….

Jawab: x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) x3 – 4x2 + x – 4 = 0 x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1/1 = 1

x1 + x2 + x3 = 4 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1 Jadi: x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 42 – 2.1 = 16 – 2 = 14