Metode Interpolasi Selisih-terbagi Newton Metode Numerik Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc Teknik Fisika, Universitas Gadjah Mada

Interpolasi & Regresi Keduanya sama-sama metode penaksiran suatu nilai berdasarkan sehimpunan data yang dimiliki. Keduanya berbeda dalam hal bagaimana fungsi penaksir disusun berdasarkan himpunan data yang dimiliki.

Fungsi Penaksir Interpolasi Fungsi penaksir disusun agar tepat memenuhi semua nilai himpunan data yang diberikan. Interpolasi baik dilakukan jika data yang dimiliki presisi atau sebarannya nihil.

Fungsi Penaksir Regresi Fungsi penaksir disusun agar paling pas/baik memodelkan kecenderungan perubahan yang diperlihatkan oleh himpunan data yang diberikan. Regresi dilakukan jika data yang dimiliki kurang presisi atau sebarannya signifikan.

Ide dasar Interpolasi Jika diberikan sehimpunan n+1 data: (xi, yi) dengan i=0..n Dari data disusun fungsi penaksir y=f(x) yang memenuhi ketentuan nilai f(xi) = yi di semua nilai himpunan data.

Ide dasar Interpolasi

Fungsi2 Penaksir Fungsi penaksir yang paling sering dipilih adalah polinom, karena mudah: Dievaluasi, Diturunkan, dan Diintegralkan. Polinom penaksir bisa berupa: 1 fungsi untuk seluruh himpunan data, atau 1 fungsi per pasang data.

Fungsi2 Penaksir Polinom penaksir bisa dibentuk dalam berbagai ungkapan: Langsung Tak Langsung Lagrange Selisih-terbagi Newton Spline – 1 polinom per pasang data

Metode Selisih-terbagi Newton Fungsi Penaksir Metode Selisih-terbagi Newton

Fungsi Penaksir Metode Selisih-terbagi Newton Dari (n+1) data: (xi, yi) dg i=0..n bisa disusun polinom orde n. Polinom penaksir dipilih berbentuk: Koefisien a0, a1, …, an ditentukan dengan mensyaratkan: f(xi) = yi.

Jarak interval seragam Metode Selisih-terbagi Newton

Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x seragam (h) Di x=x0, f(x0)=y0:

Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x seragam (h) Di x=x1, f(x1)=y1:

Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x seragam (h) Di x=x2, f(x2)=y2:

Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x seragam (h)

Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x seragam (h) Evaluasi koefisien a0 s/d an menjadi sangat mudah dilakukan dengan bantuan tabel pada slide berikut.

Persamaan Interpolasi Persamaan Interpolasi dengan demikian bisa ditulis sebagai:

x0 y0=a0 1y0=a1 x1 y1 2y0=a2 1y1 3y0=a3 x2 y2 2y1 4y0=a4 1y2 3y0 x3 y3 2y2 1y3 x4 y4

Contoh: Diberikan data berikut: i xi yi 1 9,78 2 12,51 3 17,18 4 23,77 5 32,28

Grafik Sebaran Data

1 9,78 2,73 2 12,51 0,97 4,67 -0,00221 3 17,18 0,96 -0,00012 6,60 -0,0027 4 23,77 8,51 5 32,28

Eksak vs. Prediksi Himpunan 5 pasangan data dalam contoh ini sebenarnya dihitung dari fungsi: Dengan demikian, nilai prediksi dengan fungsi interpolasi bisa dibandingkan dengan nilai eksaknya.

Eksak vs. Prediksi

Error Prediksi y x exact predicted error abs % 0,1 8,99 0,0047 0,2   y x exact predicted error abs % 0,1 8,99 0,0047 0,2 9,00 0,0036 0,3 9,03 0,0028 0,4 9,08 0,0020 0,5 9,14 0,0015 0,6 9,23 0,0010 0,7 9,34 0,0006 0,8 9,47 0,0003 0,9 9,61 0,0001 1 9,78 0,0000

Jarak interval sembarang Metode Selisih-terbagi Newton

Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x sembarang Dengan cara serupa seperti pada kasus dengan interval antar-x seragam, akan bisa diperoleh hasil serupa pula. Perbedaan hanya terletak pada nilai selisih penyebutnya saja.

Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x sembarang