PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Choirudin, M.Pd

a x2 + b x + c = 0, a, b, c bilangan real a ≠ 0 A. Persamaan Kuadrat dan Akar-akarnya Bentuk umum persamaan kuadrat adalah: a x2 + b x + c = 0, a, b, c bilangan real a ≠ 0 x: variabel a, b: koefisien variabel x c: konstanta Misalkan 4x2 ‒3x + 5 = 0. tentukan nilai a, b, dan c. a = 4, b = ‒3, c = 5 Hal paling mendasar dalam persamaan kuadrat adalah akar-akar atau penyelesaian yaitu semua nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat. Memenuhi artinya jika nilai x disubstitusikan ke persamaan kuadrat, maka nilai ruas kiri = nilai ruas kanan.

B. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat 1. Memfaktorkan Faktor-faktor dari x2 + x – 6 = 0 adalah (x – 2)(x + 3) = 0 Maka (x – 2) = 0 atau (x + 3) = 0 Sehingga, x1 = 2 x2 = –3 Dari atas diperoleh, misalkan (x – 2) = A dan (x + 3) = B merupakan faktor-faktor dari persamaan kuadrat, maka; A × B = 0 ↔ A = 0 atau B = 0

ax2 ± bx = 0 ↔ x(ax ± b) = 0 atau ax(x – ) = 0 a. Persamaan Kuadrat yang Terdiri atas Dua Suku Jika persamaan kuadrat ax2 + bx = 0 dan ax2 + c = 0, maka cara memfaktorkannya sebagai berikut. ax2 ± bx = 0 ↔ x(ax ± b) = 0 atau ax(x – ) = 0 a2x2 – c2 = 0 ↔ (ax + c)(ax – c) = 0 Contoh Tentukan penyelesaian persamaan-persamaan 2x2 + 3x = 0 dan 4x2 ‒ 9 = 0 4x2 ‒ 9 = 0 ↔ 22x2 ‒ 32 = 0 2x2 + 3x = 0 ↔ x(2x + 3) = 0 (2x + 3)(2x ‒3) = 0 x = 0 atau (2x + 3) = 0 (2x + 3) = 0 atau (2x ‒3) = 0 2x1 = ‒3 atau 2x2 = 3 x1 = 0 atau 2x2 = ‒3 x1 = atau x2 = x1 = 0 atau x2 =

b. Persamaan Kuadrat yang Terdiri atas Tiga Suku Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 akan terdiri atas tiga suku jika a, b, dan c tidak ada yang bernilai nol. Difaktorkan menjadi empat suku dengan cara mengubah bx menjadi px + qx dengan syarat p.q = a.c Contoh Tentukan penyelesaian persamaan-persamaan x2 ‒ 8x + 15 = 0 x2 ‒ 8x + 15 = 0 (x ‒ 5)(x ‒ 3) = 0 x1 = 5, x2 = 3

2. Melengkapkan Kuadrat Mengubah persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 menjadi bentuk (x ± p)2 = q ,dengan q ≥ 0. Bentuk (x ± p)2 disebut bentuk kuadrat sempurna Rumus menyempurnakan kuadrat sempurna: x2 ± 2px + p2 = (x ± p)2 Contoh Tentukan nilai x dari tiap persamaan x2 ‒ 25 = 0 dan x2 ‒ 4x ‒ 12 = 0 x2 ‒ 25 = 0 x2 ‒ 4x ‒ 12 = 0 ↔ x2 ‒ 2.2x = 12 x2 = 25 x2 ‒ 2.2x + 22= 12 + 22 x = ± 5 (x ‒ 2)2 = 16 x1 = 5, x2 = ‒5

2. Rumus Kuadrat (Rumus abc) Contoh Tentukan nilai x dari tiap persamaan x2 + x ‒ 6 = 0 x2 + x ‒ 6 = 0, didapat a = 1, b = 1 dan c = ‒6

Diskriminan (D) persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah: C. Diskriminan Persamaan Kuadrat Diskriminan (D) persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah: D = b2 ‒ 4ac Diskriminan (D) berguna untuk membedakan (mendiskriminasikan) jenis akar-akar. D > 0 → persamaan mempunyai dua akar real yang berlainan D = 0 → persamaan mempunyai dua akar real yang sama (akar kembar) D = k2 → persamaan mempunyai akar-akar yang rasional D < 0 → persamaan tidak mempunyai akar-akar real

Contoh tentukan jenis akar-akar persamaan 2x2 ‒ 5x ‒ 3 = 0 2x2 ‒ 5x ‒ 3 = 0, maka a = 2, b = ‒5, c = ‒3 D = b2 ‒ 4ac = (‒5)2 ‒ 4(2)(‒3) = 25 + 24 = 49 = 72 Karena D = kuadrat sempurna maka persamaan tersebut mempunyai akar rasional.

D. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0, maka jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut berturut-turut adalah Contoh Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan 2x2 + 6x + 7 = 0 2x2 + 6x + 7 = 0, maka a = 2, b = 6, c = 7 Jadi, jumlah dan hasilkali akar-akarnya berturut-turut adalah ‒3 dan

E. Akar Persekutuan x = α dikatakan akar persekutuan persamaan ax2 + bx + c = 0 dan px2 + qx + r = 0 apabila x = α merupakan akar kedua persamaan atau memenuhi kedua persamaan.

F. Menyusun Persamaan Kuadrat Misalkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 memiliki akar-akar x1 dan x2 , maka ax2 + bx + c = 0 (x‒x1)(x‒x2) = 0 x2 ‒ (x1 + x2 )x + x1.x2 = 0 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 dapat disusun menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, yaitu: x2 ‒ (x1 + x2)x + x1x2 = 0

G. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Berelasi Contoh Diketahui x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ 3x + 5 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2x1 dan 2x2. x2 ‒ 3x + 5 = 0 akar-akarnya x1 dan x2. Misalkan A = 2x1 dan B = 2x2 akar-akar persamaan kuadrat baru A + B = 2x1 + 2x2 = 2(x1 + x2) = 2(3) = 6 A . B = 2x1 . 2x2 = 4(x1 . x2) = 4(5) = 20 Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, maka persamaan kuadrat baru tersebut x2 ‒ (A + B)x + A.B = 0 → x2 ‒ (6)x + 20 = 0 → x2 ‒ 6x + 20 = 0

A. Pengertian Pertidaksamaan Bentuk-bentuk pertidaksamaan sebagai berikut. tanda ketidaksamaan seperti > , < , ≥ , ≤ , atau ≠ x diganti dengan bilangan tertentu agar dapat ditentukan benar salahnya Bentuk-bentuk di atas disebut pertidaksamaan, sementara nilai-nilai yang menjadikan suatu pertidaksamaan benar disebut penyelesaian pertidaksamaan.

Untuk mengubah pertidaksamaan dapat menggunakan sifat-sifat berikut. Berarti menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah pertidaksamaan. Berarti mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tidak mengubah pertidaksamaan. Berarti mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama tidak mengubah pertidaksamaan bila tanda ketidaksamaannya dibalik.

Penyelesaian pertidaksamaan berbentuk interval Interval dapat dinyatakan dengan garis bilangan Misalnya penyelesaian x ≥ 2 dengan x ϵ R bila digambarkan dalam garis bilangan menjadi: Penyelesaian x < ‒3 dengan x ϵ R bila digambarkan dalam garis bilangan menjadi:

Contoh soal Gambarkan interval-interval berikut dalamgaris bilangan! x ≤ 4, 2 ≤ x < 5, dan x < ‒2 atau x > 1

B. Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang variabelnya paling tinggi berderajat satu. Bentuk-bentuk pertidaksamaan ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 , ax + b ≤ 0 atau ax + b ≠ 0 Contoh soal Tentukan penyelesaian dari: (kedua ruas dikurangi 5x dan 2) (kedua ruas dikurangi 3) (kedua ruas dikali min setengah, maka tanda ketaksamaan dibalik ) (kedua ruas dibagi 2)

Contoh soal Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk x ϵ R!

C. Pertidaksamaan Kuadrat Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang variabelnya paling tinggi berderajat dua. Bentuk-bentuk pertidaksamaan ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ 0 , ax2 + bx + c ≤ 0 , atau ax2 + bx + c ≠ 0 dengan a,b,c ϵ R dan a ≠ 0 Mencari penyelesaian pertidaksamaan ax2 + bx + c > 0 artinya mencari interval nilai x yang mengakibatkan ax2 + bx + c bernilai > 0 (positif). Karena negatif dan positif dibatasi angka nol maka lebih dahulu dicari pembuat nol ax2 + bx + c. Pembuat nol ini (x1 dan x2) biasanya menghasilkan tiga interval.

Contoh soal 1 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan x2 ‒ 7x + 10 > 0. x2 ‒ 7x + 10 > 0 (x ‒ 2)(x ‒ 5) > 0 Pembuat nol x1 = 2, x2 = 5 Interval-interval yang diperoleh adalah:

Lanjutan Interval yang menghasilkan x2 ‒ 7x + 10 bernilai > 0 (positif) adalah x < 2 atau x > 5. Berarti penyelesaian x2 ‒ 7x + 10 > 0 adalah x < 2 atau x > 5. Dapat dipersingkat Penyelesaian: x < 2 atau x > 5.

Sehingga langkah-langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat sebagai berikut. 1. Jika ruas kanan tidak nol maka pindahkan semua suku ke ruas kiri sehingga pertidaksamaan menjadi f(x) < 0 atau f(x) > 0. 2. Tentukan pembuat nol f(x) dan gambar pada garis bilangan. Pembuat nol itu akan membagi garis bilangan menjadi tiga interval. 3. Substitusikan sembarang nilai x ke f(x) untuk menentukan tanda f(x) pada setiap interval. 4. Arsir garis bilangan yang sesuai sebagai penyelesaian. Sesuai artinya jika f(x) > 0 maka yang diarsir interval bertanda positif. Jika f(x) < 0 maka yang diarsir interval bertanda negatif.

Contoh soal 2 Tentukan penyelesaian setiap pertidaksamaan kuadrat berikut! x2 + 5x < 6 dan 4x2 ‒ 4x + 1 > 0 Penyelesaian: ‒ 6 < x < 1

Berdasarkan contoh di atas, kita dapat menyimpulkan cara menentukan penyelesaian pada garis bilangan, yaitu: 1. Apabila ada dua pembuat nol, maka garis bilangan terbagi menjadi tiga interval dengan dua kemungkinan tanda-tanda di antara pembuat nolnya. 2. Apabila ada dua pembuat nol yang sama, maka garis bilangan terbagi menjadi dua interval dengan dua kemungkinan tanda-tanda di antara pembuat nolnya.

Dengan demikian Pertidaksamaan kuadrat ax2 + bx + c > 0 adalah interval yang bertanda positif, sedangkan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax2 + bx + c <0 adalah interval yang bertanda negatif.

D. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan Pertidaksamaan bentuk pecahan adalah pertidaksamaan yang terdiri atas pembilang dan penyebut di mana terdapat variabel Pertidaksamaan pecahan bentuk linear dalam variabel x dapat berupa: Pertidaksamaan pecahan bentuk kuadrat dalam variabel x dapat berupa:

Telah kita ketahui bahwa salah satu sifat pertidaksamaan adalah Dengan demikian, pertidaksamaan pecahan

Contoh soal Tentukan penyelesaian pertidaksamaan:

Contoh soal Tentukan penyelesaian pertidaksamaan:

E. Pertidaksamaan Bentuk Akar Pertidaksamaan yang mengandung bentuk akar diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas. Akan tetapi harus dijamin bahwa setiap yang berada dalam akar dan hasil penarikan akar harus ≥ 0. Contoh soal 1 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan:

Contoh soal 2 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan:

F. Pertidaksamaan Bentuk Harga Mutlak Harga mutlak disebut juga modulus dan dinotasikan dengan |...| yang artinya dipositifkan. Harga mutlak dari suatu bilangan real x dinotasikan |x|. Harga mutlak x didefinisikan sebagai berikut. Pertidaksamaan bentuk harga mutlak dapat diselesaikan menggunakan sifat-sifat berikut.

Contoh soal 1 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan:

F. Penerapan Konsep Pertidaksamaan dalam Pemecahan masalah Langkah pertama untuk menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari adalah membuat model matematika. Penyelesaiaannya dikonversikan lagi ke masalah sehari-hari. Contoh soal Sepotong kawat sepanjang x cm akan dibentuk persegi panjang dengan ukuran panjang sama dengan dua kali ukuran lebar. Jika persegi panjang yang terbentuk luasnya lebih dari kelilingnya, tentukan panjang kawat yang memenuhi! Misalkan panjang persegi panjang = p dan lebarnya = l Diketahui p = 2l

Lanjutan Panjang kawat = keliling persegi panjang Oleh karena ukuran panjang tidak negatif, maka panjang kawat yang memenuhi harus lebih dari 18 cm x2 – 18x > 0