Copyright © Cengage Learning. All rights reserved. 2 Limits Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.

2.2 Limit dari Sebuah Fungsi Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.

The Limit of a Function Mari selidiki sifat dari fungsi f yang didefinisikan oleh f (x) = x2 – x + 2 untuk nilai-nilai x mendekati 2.

The Limit of a Function Tabel berikut memberikan nilai-nilai dari f (x) untuk nilai-nilai x mendekati 2, tetapi tidak sama dengan 2.

The Limit of a Function Dari table dan grafik dari f (sebuah parabola) yang diperlihatkan pada Figure 1, kita melihat bahwa ketika x mendekati 2 (pada kedua sisi dari 2), f (x) mendekati 4. Figure 1

The Limit of a Function Faktanya, bahwa kita dapat membuat nilai dari f (x) sedekat mungkin dengan 4 dengan cara mengambil x yang sedekat mungkin dengan 2. Kita mengatakannya sebagai “limit dari fungsi f (x) = x2 – x + 2 ketika x mendekati 2, sama dengan 4.” Notasinya adalah

The Limit of a Function Secara umum, kita menggunakan notasi berikut. Kasarnya, kita mengatakan bahwa nilai dari f (x) semakin mendekati L ketika x semakin mendekati a (dari kedua sisi a), tetapi x  a.

The Limit of a Function Notasi alternatife untuk adalah f (x)  L ketika x  a Yang biasanya dibaca “f (x) mendekati L ketika x mendekati a.” Perhatikan phrase “tetapi x  a” dalam definisi limit. Berarti bahwa dalam mencari limit dari f (x) ketika x mendekati a, kita tidak pernah berfikir bahwa x = a. Kenyataannya, f (x) tidak perlu terdefinisi ketika x = a. Yang menjadi masalah adalah bagaimana f didefinisikan di dekat a.

The Limit of a Function Figure 2 menunjukkan grafik dari tiga functions. Perhatikan bahwa bagian (c), f (a) tidak terdefinisi dan bagian (b), f (a)  L. Tetapi setiap fungsi, menyatakan limxa f (x) = L adalah benar. in all three cases Figure 2

Contoh 1 Perkirakan nilai dari Solution: Perhatikan bahwa fungsi f (x) = (x – 1)(x2 – 1) tidak terdefinisi ketika x = 1, tetapi ini tidak masalah, karena definisi dari limxa f (x) mengatakan bahwa yang kita pertimbangkan adalah nilai x yang dekat dengan a tetapi tidak sama dengan a.

Example 1 – Solution cont’d Tabel di sebelah kiri memberikan nilai dari f (x) (sampai enam angka decimal) untuk nilai x mendekati1 (tetapi tidak sama dengan 1). Berdasarkan nilai-nilai dalam table, kita menduga bahwa

Example 1 – Solution

The Limit of a Function Sekarang mengubah f sedikit dengan memberikan nilai 2 ketika x = 1 dan menyebut fungsi yang terbentuk sebagai fungsi g:

The Limit of a Function Fungsi g yang baru tetap mempunyai limit yang sama seperti x mendekati 1. (Lihat Figure 4.) Figure 4

Tugas 1  

Limit Satu Sisi

One-Sided Limits Fungsi H didefinisikan dengan . H (t) mendekati 0 ketika t mendekati 0 dari kiri dan H (t) mendekati 1 ketika t mendekati 0 dari kanan. Secara symbol dengan menuliskan dan

One-Sided Limits Notasi t  0– menunjukkan bahwa yang kita pertimbangkan hanyalah nilai t yang lebih kecil dari 0. Demikian juga, t  0+ menunjukkan bahwa yang kita pertimbangkan hanyalah nilai t yang lebih besar dari 0.

One-Sided Limits “Limit kiri dari f (x) ketika x mendekati a sama dengan L” Kita membutuhkan x lebih kecil dari a.

One-Sided Limits Begitu pula, jika kita membutuhkan x lebih besar dari a, kita mendapatkan “Limit kanan dari f (x) ketika x mendekati a sama dengan L” dan kita menulis Jadi notasi x  a+ berarti x lebih besar dari a (x > a). Figure 9

One-Sided Limits Dengan membandingkan definisi 1 dengan definisi dari limit satu sisi.

Example 7 Grafik fungsi g ditunjukkan pada Figure 10. Nyatakan nilai nilai (jika ada) dari: Figure 10

Example 7 – Solution Dari grafik kita melihat bahwa nilai dari g(x) mendekati 3 ketika x mendekati 2 dari kiri, tetapi mendekati 1 ketika x mendekati 2 dari kanan. Oleh karena itu dan (c) Oleh karena limit kiri dan kanannya berbeda, kita menyimpulkan bahwa limx2 g(x) tidak ada.

Example 7 – Solution cont’d Grafik juga memperlihatkan dan (f) Kali ini limit kiri dan limit kanan sama Selain itu, perhatikan bahwa g(5)  2.

Tugas 2 Gunakan grafik dari f untuk menyatakan nilai dari setiap besaran, jika ada. Jika tidak ada, jelaskan alasannya.

Tugas 2 2. Gunakan grafik dari f untuk menyatakan nilai dari setiap besaran, jika ada. Jika tidak ada, jelaskan alasannya.

Tugas 2 3. Gunakan grafik dari f untuk menyatakan nilai dari setiap besaran, jika ada. Jika tidak ada, jelaskan alasannya.

Kerjakan Tugas 1, 2 Dikerjakan di kertas A4 dan di streples Kerjakan Tugas 1, 2 Dikerjakan di kertas A4 dan di streples. Diberikan nama, nim dan kelas. Ditulis tangan. Menggunakan bolpoin. Di kumpulkan Paling lambat seminggu Di ruang kuliah sebelum kuliah di mulai.