PERTEMUAN II Nur Edy, PhD. SISTEM BILANGAN PERTEMUAN II Nur Edy, PhD.

Sub Pokok Bahasan Bilangan riil dan sifat-sifatnya Bilangan kompleks

BILANGAN REAL

Sistem Bilangan Real

Operasi bilangan bulat

Penjumlahan Sifat-sifat komutatif: a + b = b + a Contoh : 2 + 5 = 5 + 2 = 7 Sifat asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c) Contoh : (-4)+6=6+(-4) = 2 Sifat identitas a+0 = a = 0 + a Contoh : 2 + 0 = 2 = 0 + 2 Elemen invers: a+(-a) =0 Contoh : 5+(-5) = 0 Sifat Distribusi : x(y+z) = xy +xz Contoh : 5(5+5) = 5 x 5 + 5 x 5 = 50

Operasi pada bilangan real Pengurangan a – b – c = a – (b+c) Contoh: 54 – 27 – 10 = 54 – (27+10) = 17 a – (b – c) = a – b + c Contoh: 37 – (21 – 8) = 37 – 21 +8 = 24 p x (a – b) = (pxa) – (pxb) Contoh: 2x (7 – 3) = ( 2x 7) – (2 x 3) = 8 (a + b) – c = a + (b – c) Contoh : (3+4) – 2 = 3 + (4 – 2)

Perkalian Sifat komutatif a x b = b x a Contoh : 2 x 3 = 3 x 2 Sifat asosiatif (axb)xc = a x (bxc) Contoh : (2x3)x4 = 2x(3x4) Sifat identitas ax1 = a = 1xa Contoh : 5 x 1 = 5 = 1 x 5 Elemen invers a x (1/a) = 1 Contoh : 6x(1/6) = 1

Pembagian

Pembagian Pembagian

Operasi bilangan PECAHAN Samakan Penyebut Operasi bilangan PECAHAN

Penjumlahan Samakan Penyebut

Penjumlahan Samakan Penyebut

Pengurangan 3/10 21-2-16

Perkalian

Perkalian

Pembagian

KONVERSI PECAHAN, PERBANDINGAN, SKALA, PERSEN

Konversi Pecahan Agar pengertian konversi dapat dipahami dengan baik maka untuk mengkonversikan pecahan biasa ke bentuk persen dapat dilakukan dengan membagi pembilangnya oleh penyebut pada pecahan kemudian dikalikan 100%.

Konversi Pecahan

Konversi Pecahan

Perbandingan Perbandingan dua buah nilai dapat dinyatakan sebagai pembagian atau pecahan biasa. Secara umum perbandingan antara besaran a terhadap b dituliskan sebagai

Jenis Perbandingan Perbandingan Senilai Disebut sebagai perbandignan senilai jika dua perbandingan harganya sama. Contoh : 5 liter minyak mempunyai massa 4 kg dan 10 liter minyak mempunyai massa 8 kg. Perbandingan antara kualitas minyak dan massanya dituliskan sebagai berikut: 5 : 10 = 4 : 8 atau 1 : 2 = 1 : 2

Jenis Perbandingan Perbandingan Senilai Contoh : Mobil dengan kecepatan tetap 60 km/jam

Jenis Perbandingan Perbandingan Berbalik Nilai Contoh : Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh 1 orang akan seleai dalam 60 hari, jika 2 orang 30 hari, 3 orang 30 hari dan seterusnya.

Skala Skala adalah perbandingan antara jarak (panjang pada gambar) dan jarak (panjang sebenarnya). Contoh: Skala pita = 1 : 200.000 Maksudnya jika jarak pada gambar 1 cm maka jarak pada bumi (sebenarnya) 200.000 cm.

Skala QUIZ Diketahui : Berapa KM jarak sesungguhnya 2 kota tersebut ? Jarak 2 kota pada gambar 7,5 cm Berapa KM jarak sesungguhnya 2 kota tersebut ?

Skala Jawab: Jarak sesungguhnya = 7,5 x 200.000 = 1500.000 cm = 15000 m = 15 km

Skala QUIZ Diketahui : Berapakah jarak pada gambar ? Skala 1 : 200.000 Jarak dua kota 60 km. Berapakah jarak pada gambar ?

Skala Jawab : 60 km = 60.000 m = 6.000.000 cm Jarak peta = 6.000.000 / 200.000 = 60/2 = 30 cm

Persen Persen adalah bentuk lain dari pecahan yang penyebutnya seratus. Simbol yang digunakan untuk menyatakan persen adalah “%”. Misalnya 2% artinya 2/100 Untuk mengubah bentuk persen menjadi pecahan dilakukan dengan jalan membagi persen tersebut dengan 100%.

Persen Contoh

Persen Untuk menyatakan perbandingan antara dua besaran persentase dapat ditentukan dengan pertolongan pernyataan perbandingan sehingga Besaran pertama : besaran kedua = persentase : 100%

Persen

Operasi pada Bilangan Berpangkat Konsep operasi pada bilangan berpangkat a3 artinya a x a x a sebanyak 3 faktor a3 dibaca a berpangkat tiga Secara umum : an artinya a x a x a x ... a sebanyak n faktor. a disebut bilangan berpangkat a disebut bilangan dasar pokok 3 disebut pangkat atau eksponen Contoh : 25 = 2x2x2x2x2 = 32

Operasi pada Bilangan Berpangkat Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama

Operasi pada Bilangan Berpangkat Pembagian bilangan berpangkat Siapa mau jawab? 54:52

Operasi pada Bilangan Berpangkat Pembagian bilangan berpangkat

Operasi pada Bilangan Berpangkat Pemangkatan bilangan berpangkat

Operasi pada Bilangan Berpangkat Pemangkatan Suatu Pecahan

Operasi pada Bilangan Berpangkat Bilangan berpangkat nol 50 = 1

Operasi pada Bilangan Berpangkat Pangkat Negatif 8-2 8-2

Operasi pada Bilangan Irasional (bentuk akar)

Akar Akar merupakan lawan dari pangkat dengan tanda yang dipunyai oleh suatu bilangan adalah untuk menunjukkan bahwa pangkat dari bilangan tadi dibagi oleh indeks yang terdapat pada tanda akar. Secara umum dapat dituliskan :

Akar dengan m adalah indeks akar Penulisan akar yang tidak disertai dengan indeks berarti indeks dari akar tersebut adalah 2. Misalnya √3 artinya sama dengan 3½

Akar Operasi akar dilakukan sebagai berikut

Akar Operasi akar dilakukan sebagai berikut

Akar Operasi akar dilakukan sebagai berikut

Akar Operasi akar dilakukan sebagai berikut

Akar Operasi akar dilakukan sebagai berikut

Akar Operasi akar dilakukan sebagai berikut

Akar Operasi akar dilakukan sebagai berikut

Akar

Akar

Akar Jawab

Akar Jawab

BILANGAN KOMPLEKS

BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.

BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA Definisi 1 Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1. Notasi Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS DEFINISI 2 Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2. DEFINISI 3 Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb: z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2) z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }. Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan imajiner.

Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut: 1. z1+z2∈ℂ dan z1•z2∈ℂ . (sifat tertutup) 2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif) 3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3) (sifat assosiatif) 4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif) 5. Ada 0=0+i0∈ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral penjumlahan) 6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral perkalian 7. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada –z=–x–iy) sehingga z+(–z)=0 8. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada z-1=sehingga z•z-1=1. Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.

Bentuk Bilangan Kompleks