B. MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK © sujono 2009

B. MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK Harga sinh x, cosh x, dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari dalam tabel, tetapi untuk harga x lainnya, harga fungsi hiperbolik ini harus kita hitung sendiri.

Contoh 1. Menghitung sinh 1,275 = ? sinh x = ½ (ex – e -x) sinh 1,275 = ½ (e1,275 – e -1,275). Dengan menggunakan kalkulator, didapat : e1,275 = 3,579 dan e --1,275 = (1 / 3,759) = 0,2794 Jadi, sinh 1,275 = ½ (3,579 – 0,279) = ½ (3,300) = 1,65 Jadi, sinh 1,275 = 1,65

Contoh 2. Menghitung cosh 2,156 = ? cosh x = ½ (ex + e -x) cosh 2,156 = ½ (e2,156 + e -2,156). Dengan menggunakan kalkulator, didapat : e2,156 = 8,637 dan e -2,156 = (1 / 8,637) = 0,116 Jadi, cosh 2,156 = ½ (8,637 + 0,116) = ½ (8,753) = 4,377 Jadi, cosh 2,156 = 4,377

Contoh 3. Menghitung tanh 1,27 = ? tanh x = tanh 1,27 = Jadi, tanh 1,27 = = tanh 1,27 = 0,854 ex - e-x ex + e-x e1,27 - e-1,27 e1,27 + e-1,27 3,561 - 0,281 3,561 + 0,281 3,280 3,842

C. MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK

Contoh 4. Menghitung sinh-1 1,475 = ? (Mencari nilai x sedemikian rupa sehingga sinh x = 1,475) sinh x = 1,475  ½ (ex - e-x) = 1,475  ex - (1/ex) = 2,950 kalikan kedua ruas dengan ex  (ex)2 – 1 = 2,95(ex)  (ex)2 - 2,95(ex) - 1 = 0 ex = = = = = atau  3,257 atau -0.307 tetapi, ex selalu positif untuk nilai x real. dengan demikian satu-satunya penyelesaian real adalah x = ln 3,257 = 1,1808  x = 1,1808 2,95 ± 2,952 + 4 2 2,95 ± 8,703 + 4 2 2,95 ± 12,703 2 2,95 ± 3,564 2 6,514 2 0,614 2

Contoh 5. Menghitung cosh-1 2,364 = ? (hingga empat desimal) ARTINYA : cosh x = 2,364. = 2,364 jadi, ex + = 4,728 (ex)2 – 4,728(ex) + 1 ex = = ½ (4,7280 ± 4,284 ....) = 4,5060 .... atau 0,2219 .... Oleh sebab itu : x = ln 4,5060 .... atau ln 0,2219 .... x = +1,5054 atau -1,5054 ex - e-x 2 1 ex 4,7280 ± 4,27802 - 4 2

Contoh 6. Menghitung tanh-1 0,623 = ? ARTINYA tanh x = 0,623  = 0,623 e-x - e-x = 0,623 (ex + e-x) (1 – 0,623) ex = (1 + 0,623) e-x 0,377 ex = (1,623 e-x = MAKA (ex)2 = = 2,073 jadi, tanh-1 0,623 = 0,730 x = ln 2,073 = 0,7299 e-x - e-x e-x + e-x 1,623 ex 1,623 0,377

Bentuk Logaritma dari Fungsi Hiperbolik

Bentuk umum : sinh-1 x  ln { x + } cosh-1 x  ± ln { x + } tanh-1 x Mempunyai satu harga sinh-1 x  ln { x + } Mempunyai DUA harga cosh-1 x  ± ln { x + } Mempunyai satu harga tanh-1 x  ½ ln

CONTOH cosh-1 2,061= ..... ? Solusi cosh-1 2,061 = ± ln = ± ln Jadi, cosh-1 2,061 = 1,351 atau - 1,351

IDENTITAS HIPERBOLIK

identitas identitas trigonometrik hiperbolik cot x = 1 / tan x sec x = 1 / cos x cosec x = 1 / sin x cos2 x + sin2 x = 1 sec2 x = 1 + tan2 x cosec2 x = 1 + cot2 x sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x – sin2 x = 1 - (2 sin2 x) = (2 cos2 x) - 1 coth x = 1 / tanh x sech x = 1 / cosh x cosech x = 1 / sinh x cosh2 x - sinh2 x = 1 sech2 x = 1 - tanh2 x cosech2 x = 1 - coth2 x sinh 2x = 2 sinh x cosh x cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x = 1 + (2 sinh2 x) = (2 cosh2 x) + 1