GEOMETRI Titik, Garis dan Bidang

SMA NEGERI 1 PRABUMULIH Thn Ajaran 2014/2015 Disusun Oleh Sura Bardana Chandra Maulana Intan Tri Agustina M. Risky Paridho Ramadini Hartanti Sri Novita Mulya. S Marina Alfonsia Tunya Hafizh Arie. A SMA NEGERI 1 PRABUMULIH Thn Ajaran 2014/2015

Pengertian Titik, Garis, dan Bidang Kita tidak asing dengan istilah titik. Bahkan setiap kita menulis kita selalu menggunakannya. Apakah sama titik dalam “dunia menulis” dengan titik dalam “dunia matematika”? Dalam “dunia menulis” titik merupakan tanda yang digunakan untuk mengakhiri sebuah kalimat, sedangkan dalam “dunia matematika” titik merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Sama seperti dalam dunia menulis, dalam dunia matematika titik direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”. Hanya saja dalam dunia matematika titik diberi nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q.  Garis Garis adalah himpunan titik-titik yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah titik. Titik-titik tersebut berderet ke kedua arah yang berlawanan sampai jauh tak terhingga. Model atau representasi suatu garis misalnya seperti seutas benang atau tali lurus yang dapat diperpanjang kedua arah yang berlawanan sampai jauh tak terhingga. Garis hanya mempunyai ukuran panjang. Berbeda dengan titik yang diberi nama menggunakan satu buah huruf kapital, sedangkan garis diberi nama dengan menggunakan huruf kecil seperti g, h, k, dan seterusnya, atau dua buah huruf kapital seperti AB, AC, BC, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah garis, yaitu garis h dan garis AB.

Bidang Bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis. Jadi, pada sebuah bidang, terdiri dari banyak sekali garis. Model sebuah bidang adalah permukaan sebuah kertas yang dapat diperlebar ke semua arah. Bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar serta diberi nama dengan menyebutkan titik-titik sudut dari bidang tersebut atau memakai huruf α, β, γ , dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah bidang, yaitu bidang α dan bidang ABCD. Dari pengertian titik, garis, dan bidang akan memunculkan aksioma atau postulat tentang titik, garis dan bidang yaitu : Melalui dua buah titik sembarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat satu garis lurus Melalui tiga titik sembarang, hanya dapat dibuat satu buah bidang. Melalui satu titik dan garis yang tidak melewati titik tersebut dapat dibuat sebuah bidang Melalui dua buah garis sejajar atau garis yang saling berpotongan dapat dibuat sebuah bidang.  Jika suatu garis dan suatu bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP GARIS DAN BIDANG Kedudukan titik terhadap garis dibedakan menjadi dua yaitu titik terletak pada garis dan titik terletak di luar garis. Kedudukan titik terletak pada garis dan titik terletak di luar garis dapat dianalogikan seperti burung yang hinggap di kabel listrik, seperti gambar di bawah ini. Sekarang coba perhatikan gambar. Gambar tersebut merupakan segerombolan burung yang hinggap di kabel listrik. Misalkan burung-burung tersebut adalah sebuah titik dan kabel tersebut merupakan garis, maka burung yang hinggap di kabel listrik (dilingkari merah) dapat dikatakan sebagai titik terletak pada garis. Jadi, sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis, seperti gambar di bawah ini. Sekarang coba perhatikan gambar burung yang terbang dan akan hinggap di kabel listrik (dilingkari warna biru) dapat dikatakan sebagai titik terletak diluar garis. Sebuah titik dikatakan terletak di luar garis, jika titik tersebut tidak dapat dilalui garis, seperti gambar di bawah ini.

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP BIDANG Kedudukan titik terhadap bidang dibedakan menjadi dua yaitu titik terletak pada bidang dan titik terletak di luar bidang. Untuk lebih mudah memahami konsep kedudukan titik terhadap bidang, coba perhatikan gambar di bawah ini. Gambar di kiri merupakan lima orang yang mengadakan penyuluhan tentang cara menanam padi dan ditonton oleh tiga anak-anak. Jika orang dewasa dan anak-anak tersebut kita misalkan titik dan lahan atau tanah yang akan ditanami padi kita sebut sebagai bidang, maka orang dewasa yang menanam padi di areal persawahan dapat kita sebut sebagai titik-titik yang terletak pada bidang. Sedangkan anak-anak yang sedang menonton yang berada di luar areal yang ditanami padi kita sebut sebagai titik-titik yang berada luar bidang. Jadi, sebuah titik dikatakan terletak pada bidang, jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang, seperti gambar di bawah ini. Sebuah titik dikatakan terletak di luar bidang, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang, seperti gambar di bawah ini.

JARAK TITIK KE TITIK, GARIS, DAN BIDANG Kedudukan titik terhadap titik yang lain, garis, dan bidang ada tiga kemungkinan yakni: Jarak Titik ke Titik Gambar disamping merupakan dua buah titik yaitu titik A dan titik B. Jarak dari titik A dan titik B dapat dicari dengan cara menghubungkan titik A ke titik B sehingga terjadi sebuah garis. Jarak kedua titik tersebut ditentukan oleh panjang garis itu. Jadi, jarak antara dua titik merupakan panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Jarak Titik ke Titik Pada gambar di samping merupakan sebuah titik A dan sebuah garis g. Jarak antara titik A dan garis g dapat dengan membuat garis dari titik A ke garis g, memotong garis di titik P sehingga terjadi garis AP yang tegak lurus garis g. Jarak titik A ke garis g adalah panjang dari AP. Jadi, jarak antara titik dengan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut tegak lurus terhadap garis itu. Jarak Titik ke Bidang Gambar di samping merupakan sebuah tiktik A dan bidang α. Jarak titik A ke bidang α dapat dicari dengan menghubungkan titik A secara tegak lurus dengan bidang α. Jadi, jarak suatu titik ke suatu bidang adalah jarak dari titik tersebut ke proyeksinya pada bidang tersebut.

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP GARIS DAN BIDANG Gambar di samping merupakan gambar tiang kabel listrik, jika kabel listrik tersebut kita anggap sebagai garis. Bagaimanakah letak atau kedudukan kabel dengan kabel lainnya? KEDUDUKAN GARIS TERHADAP GARIS Aksioma/Postulat Dua Garis Sejajar Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu. KEDUDUKAN GARIS TERHADAP BIDANG Kedudukan garis terhadap bidang dapat dibedakan menjadi tiga yakni: garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, dan garis memotong (menembus) bidang. Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika setiap titik pada garis tersebut juga terletak pada bidang, seperti gambar di bawah ini. Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang tidak mempunyai satu pun titik persekutuan, seperti gambar di bawah ini.

Sebuah garis dikatakan memotong (menembus) bidang, jika garis dan bidang mempunyai satu titik persekutuan yang dinamakan titik potong atau titik tembus, seperti gambar di bawah ini. Dalil – dalil tentang kedudukan garis terhadap garis dan garis terhadap bidang : Jika garis a sejajar garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar dengan garis c. Jika garis k memotong garis h, garis g juga memotong garis h, garis k sejajar gaaris g, maka garis h, k, dan g terletak pada satu bidang. Jika garis k sejajar dengan garis l dan garis l menembus bidang, maka garis k juga menembus bidang.

SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG Gambar di samping merupakan kedudukan garis terletak di bidang atau berimpit dengan bidang dan kedudukan garis sejajar dengan bidang. Kita ketahui bahwa bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis. Kita juga ketahui bahwa sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar dan garis yang berimpit adalah 0°. Maka sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang yang saling sejajar dan saling berimpit adalah 0°. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.  Pada gambar di samping merupakan sebuah garis g yang menembus bidang ABCD di titik O. Proyeksi gari g akan membentuk garis EF yang berimpit dan sejajar dengan bidang ABCD. Besar sudut yang dibentuk oleh garis g dengan bidang ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis g dengan garis proyeksinya yaitu sebesar β. Jadi, sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang.

SUDUT ANTARA GARIS DAN GARIS Gambar di samping merupakan kedudukan dua buah garis yang saling sejajar dan dua buah garis saling berimpit. Sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar dan garis yang berimpit adalah 0° Sekarang perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Perhatikan garis AB (garis v) dan AE (garis u)! Kedua garis tersebut (garis u dan garis v) berpotongan di titik A dan sudut yang dibentuk adalah ∠A atau biasanya ditulis ∠(u,v). Jadi, sudut antara dua garis yang berpotongan merupakan sudut yang berada di titik potong antara dua garis itu dan sinar garisnya sebagai kaki sudut. Perhatikan gambar di bawah ini. Perhatikan garis BD (garis y) dan garis FH (garis x)! Kedua garis tersebut saling bersilangan. Garis BD (garis y) sejajar dengan garis FH (garis z) dan garis x dan garis z saling berpotongan. Jadi, sudut antara dua garis bersilangan (misalkan x dan y bersilangan) merupakan sudut yang berada di titik potong antara garis x dengan garis z, di mana garis z sejajar dengan garis y, dan garis x bersilangan dengan garis z.

SUDUT ANTARA BIDANG DAN BIDANG Gambar di atas merupakan kedudukan bidang terhadap bidang lainnya. Gambar pertama merupakan kedudukan dua buah bidang yang saling berimpit dan gambar kedua merupakan kedudukan dua buah bidang yang saling sejajar. Kita ketahui bahwa pengertian bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis.  Kita juga ketahui bahwa sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar atau garis yang berimpit adalah 0°. Selain itu sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang yang sejajar dan yang berimpit adalah 0°. Maka sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang saling sejajar atau saling berimpit juga sama dengan 0°. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. Gambar di atas merupakan dua buah bidang yang saling berpotongan, di mana bidang ABCD saling berpotongan dengan bidang EFGH di garis g. Adapun cara menentukan sudut yang dibentuk oleh dua bidang ABCD dan bidang EFGH di atas adalah sebagai berikut. Membuat garis IJ yang tegak lurus dengan garis g dan berimpit dengan bidang ABCD serta berpotongan di titik M Membuat garis LK yang tegak lurus juga dengan g dan berimpit dengan garis EFGH serta bepotongan di titik M Sudut lancip yang dibentuk oleh garis IJ dan LK (sudut α) merupakan sudut yang dibentuk oleh dua bidangn tersebut.

Jadi, sudut antara dua bidang yang berpotongan merupakan sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang yang lainnya), garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut. CONTOH SOAL : 1. Kedudukan Titik Terhadap Garis Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Jika garis AB sebagai wakil dari garis g, maka tentukan: a). titik sudut kubus yang terletak pada garis g; b). titik sudut yang berada di luar garis g. Penyelesaian : Berdasarkan gambar tersebut maka a). titik sudut kubus yang terletak pada garis g adalah A dan B; dan 2). titik sudut yang berada di luar garis g adalah D, E, F, G, dan H 2. Kedudukan Titik Terhadap Bidang Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Bidang DCGH sebagai bidang u, tentukan: a) titik sudut apa saja yang terletak pada bidang u; b) titik sudut apa saja yang berada di luar bidang u. Penyelesaian: Berdasarkan gambar tersebut maka: a) titik sudut yang berada bidang u adalah D,C,G dan H; b) titik sudut yang berada di luar bidang u adalah A, B, E, dan F

Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini. 3. Jarak Titik Ke Titik, Garis, Dan Bidang Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini. Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak: titik W ke titik P Penyelesaian: titik W ke titik P merupakan panjang garis PW. Garis PW merupakan panjang diagonal sisi kubus, maka dengan menggunakan teorema phytagoras: PW =√(TW2 + PT2) PW =√(82 + 82) PW =√(64 + 64) PW =√128 PW =8√2

Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini. 4. Jarak Titik Ke Garis Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini. Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak: titik X ke garis ST Penyelesaian: Perhatikan gambar di bawah ini titik X ke garis ST merupakan panjang garis dari titik X ke titik M (garis MX) yang tegak lurus dengan garis ST, seperti gambar berikut. ST = PW dan MT = ½ ST = ½ PW = 4√2 Dengan menggunakan teorema phytagoras: MX =√(TX2 – MT2) MX =√((4√5)2 – (4√2)2) MX =√(80 – 32) MX =√48 MX =4√3 cm

Bidang DCGH sebagai bidang u, sebutkan rusuk kubus yang: 5. Jarak Titik Ke Bidang Perhatikan gambar di bawah ini. Penyelesaian: Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak titik X ke bidang RSTU titik X ke bidang RSTU merupakan panjang garis dari titik X ke titik Z (garis MX) yang tegak lurus dengan bidang RSTU. XZ = ½ PW =4√2 cm 6. Kedudukan Garis Terhadap Bidang Bidang DCGH sebagai bidang u, sebutkan rusuk kubus yang: terletak pada bidang u sejajar dengan bidang u, dan memotong atau menembus bidang u. Penyelesaian: Rusuk yang terletak pada bidang u adalah DC, CGm GH, dan DH; Rusuk kubus yang sejajar dengan bidang u adalah AB, FE, EA, dan FB; dan Rusuk kubus yang menembus atau memotong bidang u adalah AD, BC, FG dan EH.

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. 7. Sudut Antara Garis Dan Bidang Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.  Diketahui panjang rusuk kubus di atas 4 cm, titik P berada di tengah rusuk AB dan titik Q berada di tengah rusuk BC. Jika titik potong garis BD dengan garis PQ adalah R. Hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ. Penyelesaian: Perhatikan garis DR dan bidang HPQ! Besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah α. Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras: PQ = √(BP2 + BQ2) PQ = √(22 + 22) PQ = √(4 + 4) PQ = 2√2 cm Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = √2 cm, maka: BR = √(BP2 – PR2) BR = √(22 – (√2)2) BR = √(4 – 2) BR = √2 cm

Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni: BD = s√2 BD = 4√2 cm Cari panjang DR DR = BD – BR DR = 4√2 cm –√2 cm DR = 3√2 cm tan α = DH/DR tan α = 4 cm/(3√2 cm) tan α = 4√2/6 tan α = 2√2/3 arc tan 2√2/3 = 43,31° Jadi besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah 43,31°.

8. Sudut Antara Garis Dan Garis Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Jika titik P berada di tengah-tengah rusuk AB, titik Q berada di tengah-tengah diagonal sisi BD, dan panjang rusuk kubus 10 cm. Tentukan besar sudut antara garis AF dan garis FP. Penyelesaian: Sudut yang dibentuk oleh garis AF dengan garis FP adalah ∠α. Untuk mencari besar ∠α Anda harus mencari panjang AF, panjang FP, dan panjang AP. AP = ½ AB AP = ½ 10 cm AP = 5 cm Cari besar ∠α dengan aturan cosines yakni: AP2 = AF2 + FP2 – 2AF.FP.cos α 52 = (10√2)2 + (5√5)2 – 2. 10√2. 5√5.cos α 25 = 200 + 125 – 100√10.cos α 100√10.cos α = 200 + 125 – 25 100√10.cos α = 300 cos α = 300/(100√10) cos α = 3/√10 cos α = 3√10/10 arc cos 3√10/10 = 18,43° (Gunakan kalkulator di sini) Jadi, besar sudut antara garis AF dan garis FP adalah 18,43° Cari panjang AF dengan rumus panjang diagonal sisi kubus yakni: AF = s√2 AF = 10√2 cm Cari panjang FP dengan teorema phytagoras yakni: FP = √(BF2 + BP2) FP = √(102 + 52) FP = √125 FP = 5√5 cm

Cari panjang BD dengan rumus panjang diagonal bidang kubus yakni: 9. Sudut Antara Bidang Dan Bidang Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 4 cm, jika α adalah sudut yang dibentuk oleh ACF dan ACGE, maka tentukan nilai sin α dan hitung besar sudut α! Penyelesaian: Cari panjang BD dengan rumus panjang diagonal bidang kubus yakni: BD = s√2 BD = 4√2 cm Cari panjang FS dengan teorema phytagoras, di mana panjang BS merupakan setengah panjang diagonal bidang BD. BS = ½ BD = ½ . 4√2 cm = 2√2 cm FS = √(BS2 + BF2) FS = √((2√2)2 + 42) FS = √24 FS = 2√6 cm sin α = FT/FS (FT = BS) sin α = (2√2)/(2√6) sin α = √2/√6 sin α = 1/√3 sin α = (1/3)√3 arc sin (1/3)√3 = 35,26° Jadi, nilai sin α dan besar sudut α adalah (1/3)√3 dan 35,26°