KALKULUS 2 INTEGRAL

Satuan Acara Perkuliahan Mata Kuliah Kalkulus 2 Integrasi (Pengertian Integral, rumus – rumus dasar integral, integral tak tentu, integral tertentu) Metode Integrasi (Integral dengan substitusi, Integral Parsial, Integral fungsi trigonometri, integral fungsi rasional, substitusi khusus, rumus – rumus reduksi) Fungsi Transenden (Logaritma dan Eksponen, Invers fungsi trigonometri) Luas dan integral tertentu (luas, integral tertentu, sifat – sifat integral tertentu) Volume benda putar Luas permukaan benda putar Integral tak wajar dan integral lipat dua Differensial parsial orde tinggi Kalkulus dan geometri Untuk sumber materi silakan gunakan buku2 kalkulus yang mendukung/ dari internet

PENGERTIAN INTEGRASI Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral: Rumus – rumus dasar integrasi

contoh 1. 2. 3. 4. 5.

Tentukanlah nilai integral dari: 1. dx 2. dx 3. 4. 5. 6. 7.

Integral Tertentu Integral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x, dengan batas tertentu Sifat – sifat integral tertentu 1. 2.

Sifat – sifat integral tertentu (Lanjutan…) 3. 4. 5. 6.

Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x Dengan batas x1=a dan x2=b

Luas Daerah Antara Dua Kurva Untuk interval [a,b] dengan f(x)>=g(x), maka:

Metode Integrasi Integral dengan Substitusi contoh: Diusahakan menjadi bentuk Substitusi u=2x-3 Cari turunan dari u = Cari nilai dx:

Maka: Hasil akhir, dikembalikan ke nilai awal u = 2x-3, yaitu:

Integral Parsial Bila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak dapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu cara penyelesaiannya dengan metode integral parsial. Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x). Metode integral parsial memiliki bentuk: Keterangan: u = f(x) - du = turunan dari u v = g(x) - dv = turunan v

Contoh: Jawab: Jadikan bentuk Pemisalan: u = dv = Cari du dan v du = 2x dx v = v = Masukan ke bentuk

Integral Parsial Tahap 2:

VOLUME BENDA PUTAR Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ], maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

Lanjutan…… Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung. Metode Cakram Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].

Lanjutan……… Misal pusat cakram dan jari-jari r = f(xo). Maka luas cakram dinyatakan : Oleh karena itu, volume benda putar : Dapat juga ditulis f(x) = y

Lanjutan…….. Sedangkan bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x=0, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar : Dapat juga ditulis: w(y) = x

VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA Jika suatu daerah dibatasi oleh kurva y=f(x), y = g(x), x=a dan x=b diputar sekeliling sumbu X sejauh 360 derajat, maka isi benda putar yang terjadi adalah: Dimana f(x)> g(x)

Contoh Soal: Tentukan isi benda putar yang terjadi jika suatu daerah tersebut dibatasi oleh kurva , sumbu y, y=0 dan y=2! Daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x, diputar sekeliling sumbu x sejauh 360 derajat. Tentukan isi benda putar yang terjadi! Daerah yang dibatasi oleh kurva y=x+3, y=3 dan y=7 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 derajat. Tentukan isi benda putar yang terjadi! Buktikan bahwa isi kerucut: Buktikan bahwa isi bola:

INTEGRAL TAK WAJAR Bentuk integral disebut Integral Tak Wajar , jika: a. Paling sedikit satu batas integrasinya tak berhingga, atau b. Integran f(x) mempunyai titik tak kontinu pada [ a , b ] Paling sedikit satu batas integrasinya tak hingga

Bila limit pada ruas kanan ada dan bernilai hingga, maka integralnya disebut Konvergen ke nilai limit tersebut. Sedang bila limit tidak ada atau nilainya menuju tak hingga maka disebut Divergen

Integran mempunyai titik diskontinu pada [ a ,b ]