P O L I N O M I A L (SUKU BANYAK) Choirudin, M.Pd

A. Pengertian Suku Banyak Suku banyak atau polinomial adalah suatu pernyataan aljabar yang dibentuk dari variabel berpangkat bilangan cacah yang dikalikan dengan suatu bilangan dan digabungkan dengan tanda penjumlahan atau pengurangan. Secara umum, suku banyak dalam variabel x yang berderajat n, berbentuk: an merupakan koefisien xn dan an-1 merupakan koefisien xn-1 dan seterusnya. a0 merupakan konstanta Contoh Tentukan derajat dan koefisien x2 dari suku banyak x3 + 2x5 ‒ 6x2 + 7. Jawab: Pangkat tertinggi (derajat) suku banyak = 5, dan koefisien x2 = ‒6.

B. Nilai Suku Banyak 1. Metode Substitusi Suatu suku banyak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi f(x) , yaitu: 1. Metode Substitusi Contoh Tentukanlah nilai suku banyak x3 ‒ 6x + 1 untuk x = 2. Jawab: f(x) = x3 ‒ 6x + 1 sehingga Nilai suku banyak untuk x = 2, yaitu: f(2) = 23 ‒ 6 . 2 + 1 = 8 ‒ 12 + 1 = ‒3 Jadi secara umum jika f(x) = anxn + an-1 xn-1 + ...+ a1x + a0 disubstitusikan x = h, maka:

2. Metode Pembagi Sintetik Contoh Hitunglah f(4) jika f(x) = x3 ‒ x ‒ 5, dengan metode pembagi sintetik Jawab: x = 4 1 1 ‒ 1 ‒ 5 4 16 60 + 4 15 55 Dikalikan dengan 4 Jadi, nilai f(4) = 55

Sehingga secara umum misalkan f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, maka nilai x = h dengan metode sintetik sebagai berikut. x = h a a b c d ah ah2 + bh ah3 + bh2 + ch + ah + b ah2 + bh + c ah3 + bh2 + ch + d = f(h) Nilai suku banyak Dikalikan dengan h

C. Pembagian Suku Banyak Dengan cara bersusun panjang, maka f(x) = x2 + 5x + 4 dibagi dengan (x + 2) sebagai berikut. x + 3 x + 2 x2 + 5x + 4 x2 + 2x Dengan demikian x2 + 5x + 4 = (x + 2)(x + 3) + (‒2) 3x + 4 3x + 6 ‒2 Yang dibagi = (pembagi × hasil bagi) + sisa pembagian

1. Pembagian Suku Banyak dengan Pembagi Berbentuk (x ‒ h) Dengan metode sintetik, maka f(x) = 2x3 – 5x2 + 4x + 1 dibagi oleh (x – 1) sebagai berikut : x = 1 2 2 – 5 4 1 2 –3 1 + –3 1 2 Koefisien hasil bagi Sisa pembagian f(x) = 2x3 – 5x2 + 4x + = (x – 1) (2x2 – 3x + 1) + 2

2. Pembagian Suku Banyak dengan Pembagi Berbentuk (ax ‒ b) Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika 4x3 ‒ 8x2 ‒ x + 5 dibagi dengan 2x ‒ 1. x = 4 4 – 8 –1 5 2 –3 –2 + –6 –4 3 Jadi, hasil baginya adalah 2x2 – 3x – 2 dan sisa pembagiannya adalah 3.

3. Pembagian Suku Banyak dengan Pembagi Berbentuk (ax2 + bx + c ) suku banyak f (x) dibagi dengan ax2 + bx + c (a ≠ 0) ,maka hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak itu dapat ditentukan dengan cara pembagian bersusun panjang. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika x4 ‒ 2x2 ‒ 13x ‒ 19 dibagi dengan x 2 ‒ 2x ‒ 3 x2 + 2x + 5 Hasil bagi x 2 ‒ 2x ‒ 3 x4 ‒ 2x2 ‒ 13x ‒ 19 x4 ‒ 2x3 ‒ 3x2 2x3 + x2 ‒ 13x ‒ 19 2x3 ‒ 4x2 ‒ 6x 5x2 ‒ 7x ‒ 19 Sisa 5x2 ‒ 10x ‒ 15 3x ‒ 4

Atau dengan menggunakan metode sintetik Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika x4 ‒ 2x2 ‒ 13x ‒ 19 dibagi dengan x 2 ‒ 2x ‒ 3 x 2 ‒ 2x ‒ 3 diubah menjadi x 2 = 2x + 3 1 1 –2 – 13 ‒ 19 3 2 3 6 15 2 10 4 + 2 3 ‒ 4 5 Jadi, hasil baginya adalah x2 + 2x + 5 dan sisa pembagiannya adalah 3x – 4.

D. Teorema Sisa Jika suku banyak f(x) dibagi x ‒ h maka sisanya adalah f(h). Misalkan f(x) = 2x3 – 5x2 + 4x + 1 dibagi oleh (x – 1), maka sisanya sebagai berikut : x = 1 2 2 – 5 4 1 2 –3 1 + –3 1 2 = f(1) Sisa = 2

E. Teorema Faktor Jika f(x) suatu suku banyak, maka x ‒ h merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(h) = 0. Contoh Tentukan nilai p jika x ‒ 2 merupakan faktor dari x3 + px2 ‒ 5x + 6. Jawab: Karena x ‒ 2 merupakan faktor, maka f(2) = 0. f(2) = 23 + p.22 ‒ 5.2 + 6 = 0 8 + 4p ‒ 10 + 6 = 0 p = ‒1 Jadi, nilai p adalah ‒1

F. Akar-akar Persamaan Suku Banyak Jika f(x) suatu suku banyak, maka x ‒ h merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika h adalah akar-akar dari persamaan suku banyak f(x) = 0. Contoh Tentukan akar-akar persamaan x4 ‒ 4x3 ‒ x2 + 16x ‒ 12 = 0. Jawab: (x ‒1), (x ‒ 2), (x ‒ 3), dan (x +2) merupakan faktor dari x4 ‒ 4x3 ‒ x2 + 16x ‒ 12 = 0 Sehingga akar-akar persamaan x4 ‒ 4x3 ‒ x2 + 16x ‒ 12 = 0 adalah 1, 2, 3, ‒ 2.

G. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Jika x1, x2, dan x3 merupakan akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka: Jika x1, x2, x3, dan x4 merupakan akar-akar persamaan ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, maka:

Contoh Diketahui x1, x2, dan x3 merupakan akar-akar persamaan x3 ‒ 3x2 + 4x ‒ 5 = 0. Tentukan: a. x1 + x2 + x3 b. x1x2 + x1x3 + x2x3 c. x12 + x22 + x32 Jawab: x3 ‒ 3x2 + 4x ‒ 5 = 0, maka a = 1, b = ‒3, c = 4, d = ‒5.

Latihan Kerjakan latihan halaman 87 nomor 3 dan 4