UKURAN PENYEBARAN DATA Probabilitas dan Statistika UKURAN PENYEBARAN DATA

Pengertian Ukuran dari serangkaian atau sekelompok data yang menunjukkan seberapa jauh nilai-nilai dari sekelompok data tersebut menyimpang dari nilai rata-ratanya. Bila dalam sekelompok data penyebarannya kecil, maka data bersifat homogen. Bila dalam sekelompok data penyebarannya besar, maka data bersifat heterogen.

A. Daerah Jangkauan (Range) Adalah : selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil dari serangkaian data 1. Range data tunggal ket : J = daerah jangkauan (Range) Xmax = nilai terbesar Xmin = nilai terkecil J = Xmax - Xmin

1. Range data berkelompok ket : Jk = daerah jangkauan (Range) Contoh : Apabila ada 6 orang mahasiswa mengikuti ujian praktikum dengan nilai masing-masing : 80, 70, 90, 50, 85, 60. Hitung nilai jangkauannya ! Jawab : J = Xmax - Xmin J = 90 – 50 = 40 1. Range data berkelompok ket : Jk = daerah jangkauan (Range) Bmax = batas atas kelas dari kelas tertinggi Bmin = batas bawah kelas dari kelas terendah Jk = Bmax - Bmin

Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP semester juli-desember 2011 : No. Kelas Interval Kelas Frekuensi 1 25-34 6 2 35-44 8 3 45-54 11 4 55-64 14 5 65-74 12 75-84 7 85-94 65

Jawab : Jk = Bmax - Bmin Jk = 94 – 25 = 69

B. Simpangan Rata-rata (SR) Adalah nilai rata-rata dari harga mutlak semua simpangan terhadap rata-rata (mean) kelompoknya. Harga mutlak (absolut) : setiap nilai negatif dianggap positif 1. Simpangan rata-rata data tunggal SR = Simpangan rata-rata X = data pengamatan X = rata-rata

Contoh : Data nilai probabilitas dan statistik mahasiswa : 50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80 Hitung simpangan rata-rata ! Jawab : a. Hitung Nilai rata-rata

b. Hitung selisih antara nilai Xi dengan nilai rata-rata No Nilai (Xi) Rata-rata ( ) 1 50 64 14 2 40 24 3 70 6 4 75 11 5 80 16 7 65 8 9 30 34 10 Jumlah ∑ = 144

c. Hitung simpangan rata-rata (SR) Jadi, dapat diartikan bahwa terjadi penyimpangan sebesar 14,4 terhadap nilai rata-ratanya.

2. Simpangan rata-rata data berkelompok ti = titik tengah

Hitung nilai simpangan rata-rata ! Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP semester juli-desember 2011 : No. Kelas Interval Kelas Frekuensi 1 25-34 6 2 35-44 8 3 45-54 11 4 55-64 14 5 65-74 12 75-84 7 85-94 65 Hitung nilai simpangan rata-rata !

Jawab : Tentukan titik tengah : Kelas ke-1 ti = (25+34) / 2 = 29,5 Kalikan frekuensi dengan titik tengah Misal kelas ke-1 : f.ti = 6 x 29,5 = 177 Hitung nilai rata-rata Tentukan nilai Misal kelas ke-1 :

Kalikan frekuensi dengan Misal kelas ke-1 : Nilai Interval Frekuensi (fi) Titik tengah (Ti) f. ti 25 – 34 6 29,5 177 59,7 30,2 181,2 35 – 44 8 39,5 316 20,2 161,6 45 – 54 11 49,5 545 10,2 112,2 55 – 64 14 59,5 833 0,2 2,8 65 – 74 12 69,5 834 9,8 117,6 75 – 84 79,5 636 19,8 158,4 85 – 94 89,5 537 29,8 178,8 ∑ = 65 ∑ = 3878 ∑ = 912,6

Hitung Simpangan rata-rata :

C. Simpangan Baku (Standar Deviasi) Adalah nilai yang menunjukkan tingkat variasi kelompok data atau ukuran standar penyimpangan dari nilai rata-ratanya. Lambang SD untuk populasi : σ (tho) Lambang SD untuk sampel : s 1. Simpangan baku data tunggal : a. Kategori sampel :

b. Kategori populasi : Keterangan : s = standar deviasi sampel σ = standar deviasi populasi Xi = data pengukuran n = jumlah data

Contoh : Data nilai probabilitas dan statistik mahasiswa : 50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80 Hitung simpangan baku (SD) ! Jawab : a. Hitung Nilai rata-rata

b. Hitung selisih antara nilai Xi dengan nilai rata-rata No Nilai (Xi) Rata-rata ( ) 1 50 64 196 2 40 576 3 70 36 4 75 121 5 6 80 256 7 65 8 9 30 1156 10 Jumlah ∑ = 2840

c. Hitung nilai standar deviasi :

a. Kategori sampel : 2. Simpangan Baku data berkelompok : b. Kategori populasi : Keterangan : s = standar deviasi sampel σ = standar deviasi populasi Xi = data pengukuran n = jumlah data

Hitung nilai simpangan baku (SD) ! Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP semester juli-desember 2011 : No. Kelas Interval Kelas Frekuensi 1 25-34 6 2 35-44 8 3 45-54 11 4 55-64 14 5 65-74 12 75-84 7 85-94 65 Hitung nilai simpangan baku (SD) !

Jawab : Tentukan titik tengah : Kelas ke-1 ti = (25+34) / 2 = 29,5 Kalikan frekuensi dengan titik tengah Misal kelas ke-1 : f.ti = 6 x 29,5 = 177 Kuadratkan ti (ti2) Misal kelas ke-1 : (ti2) = (29,5)2 = 870,3 Kalikan f dengan (ti2) = 6 x 870,3 = 5221,5

Nilai interval Frekuensi (fi) Titik tengah (Ti) f. ti (t1)2 f. (t1)2 25 – 34 6 29,5 177 870,3 5221,5 35 – 44 8 39,5 316 1560 12482 45 – 54 11 49,5 545 2450 26952,8 55 – 64 14 59,5 833 3540 49563,5 65 – 74 12 69,5 834 4830 57963 75 – 84 79,5 636 6320 50562 85 – 94 89,5 537 8010 48061,5 ∑ = 65 ∑ = 3877,5 ∑ = 250806

Tentukan SD :

D. Koefisien Varians (KV) Adalah perbandingan antara standar deviasi dengan harga rata-rata (mean) dinyatakan dalam persen (%). Tujuan : untuk mengetahui tingkat keseragaman data Semakin kecil nilai KV semakin seragam data tersebut, dan sebaliknya. KV untuk populasi : KV untuk sampel :

Contoh : Data nilai probabilitas dan statistik mahasiswa : 50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80, 30, 80, 90, 75, 60 Hitung koefisien varians (KV) ! Jawab : a. Hitung Nilai rata-rata

Buat tabel penolong : No Nilai (Xi) Rata-rata ( ) 1 50 65 225 2 40 625 3 70 25 4 75 100 5 6 80 7 8 9 30 1225 10 11 12 13 90 14 15 60 Jumlah ∑ = 5050

Hitung SD : Hitung KV :

E. Kuartil 1. Kuartil : adalah sekumpulan data yang telah disusun mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar, kemudian dibagi menjadi empat bagian yang sama. Ada 3 jenis kuartil : kuartil bawah (K1), kuartil tengah (K2), dan kuartil atas (K3) a. Kuartil data tunggal Langkah menghitung kuartil data tunggal : 1. Susun data mulai yang terkecil – terbesar 2. Tentukan letak kuartil 3. Tentukan nilai kuartil

Nilai kuartil dapat ditentukan dengan rumus : Ket : Ki = nilai kuartil LKi = letak kuartil n = data 4

Contoh : Data nilai statistik 10 orang mahasiswa : 50, 40, 70, 77, 75, 80, 65, 30, 85, 82. Hitung nilai K1,K2,dan K3 Jawab : a. Susunan data : 30,40,50,65,70,75,77,80,82,85 b. Letak kuartil = LKi = 1, 2, 3 c. Nilai kuartil bawah K1 : Letak K1 = antara data ¾ dari data ke-2 dan ke-3 K1 = data ke-2 + 0,75 (data ke-3 – data ke-2) K1 = 40 + 0,75 (50-40) K1 = 47,5 1 (10 + 1) K1 = ------------- = 2,75 4

2 (10 + 1) K2 = ------------- = 5,5 4 Nilai kuartil tengah K2 : Letak K2 = antara ½ dari data ke-5 dan ke-6 K2 = data ke-5 + 0,5 (data ke-6 – data ke-5) K2 = 70 + 0,5 (75-70) K1 = 72,5 Nilai kuartil atas K3 : Letak K3 = antara ¼ dari data ke-8 dan ke-9 K3 = data ke-8 + 0,25 (data ke-9 – data ke-8) K3 = 80 + 0,25 (82-80) K3 = 80,5 3 (10 + 1) K3 = ------------- = 8,25 4

Ki = Bb + P ( -------------) b. Kuartil data berkelompok Letak kuartil ke-i untuk data kelompok (LKi) : Ket : Ki = nilai kuartil ke-i Bb = batas bawah kelas yang mengandung nilai kuartil P = panjang kelas i = letak kuartil ke – I Jf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i.n/4 - Jf Ki = Bb + P ( -------------) f

Langkah-langkah menghitung nilai kuartil data berkelompok : a Langkah-langkah menghitung nilai kuartil data berkelompok : a. Cari nilai interval kelas yang mengandung unsur kuartil dengan rumus : LKi / 4 x (n) b. Menentukan batas bawah kelas kuartil (Bb ) c. Menentukan panjang kelas kuartil (P) d. Menentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil (Jf) e. Menentukan banyak frekuensi kelas kuartil (f) f. Menghitung nilai kuartil

Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP semester juli-desember 2011 : No. Kelas Interval Kelas Frekuensi 1 25-34 6 2 35-44 8 3 45-54 11 4 55-64 14 5 65-74 12 75-84 7 85-94 65 Hitung nilai K1,K2,dan K3

K1 = 44,5 + 9 (------------------) Ki = Bb + P ( -------------) 1. Nilai Kuartil Bawah (K1) i/4 x n = ¼ x 65 = 16,25 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 16,25 = 6 + 8 + 11 = 25 jadi, kelas kuartil bawah terletak di kelas ke-3 Bb = 45 – 0,5 = 44,5 P = 45 s.d 54 = 9 f = 11 Jf = 6 + 8 = 14 1.65 / 4 - 14 K1 = 44,5 + 9 (------------------) 11 = 44,5 + 9 (0,2045) = 46,3 i.n/4 - Jf Ki = Bb + P ( -------------) f

K2 = 54,5 + 9 (------------------) Ki = Bb + P ( -------------) 2. Nilai Kuartil Tengah (K2) i/4 x n = 2/4 x 65 = 32,5 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 32,5 = 6 + 8 + 11 + 14 = 39 jadi, kelas kuartil bawah terletak di kelas ke-4 Bb = 55 – 0,5 = 54,5 P = 55 s.d 64 = 9 f = 14 Jf = 6 + 8 + 11= 14 2.65 / 4 - 25 K2 = 54,5 + 9 (------------------) 14 = 54,5 + 9 (0,536) = 59,3 i.n/4 - Jf Ki = Bb + P ( -------------) f

K3 = 64,5 + 9 (------------------) Ki = Bb + P ( -------------) 3. Nilai Kuartil Atas (K3) i/4 x n = ¾ x 65 = 47,8 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 47,8 = 6 + 8 + 11 + 14 + 12 = 51 jadi, kelas kuartil bawah terletak di kelas ke-5 Bb = 65 – 0,5 = 64,5 P = 65 s.d 74 = 9 f = 12 Jf = 6 + 8 + 11 + 14 = 39 3.65 / 4 - 39 K3 = 64,5 + 9 (------------------) 11 = 64,5 + 9 (0,813) = 71,8 i.n/4 - Jf Ki = Bb + P ( -------------) f

F. Desil a. Desil data tunggal Langkah menghitung desil data tunggal : 2. Desil, sekumpulan data yang telah disusun mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar, dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama. Disimbolkan dengan D1, D2, …, D9. a. Desil data tunggal Langkah menghitung desil data tunggal : 1. Susun data mulai yang terkecil – terbesar 2. Tentukan letak desil 3. Tentukan nilai desil

Nilai desil dapat ditentukan dengan rumus : Ket : Di = nilai desil i = desil ke-i n = data i (n + 1) Di = ------------- 10

Contoh : Data nilai statistik 10 orang mahasiswa : 50, 40, 70, 77, 75, 80, 65, 30, 85, 82. Hitung nilai D1,D2,dan D3 Jawab : a. Susunan data : 30,40,50,65,70,75,77,80,82,85 b. Letak desil = LDi = 1, 2, 3, 4, … 9 c. Nilai desil D1 : Letak D1 = antara data ke-1 dan ke-2 D1 = data ke-1 + 0,1 (data ke-2 – data ke-1) D1 = 30 + 0,1 (40-30) D1 = 33 1 (10 + 1) D1 = ------------- = 1,1 10

Nilai desil D5 : Letak D5 = antara data ke-5 dan ke-6 D5 = data ke-5 + 0,5 (data ke-6 – data ke-5) D5 = 70 + 0,5 (75-70) D5 = 72,5 5 (10 + 1) D5 = ------------- = 5,5 10

Nilai desil D9 : Letak D9 = antara data ke-9 dan ke-10 D9 = data ke-9 + 0,9 (data ke-9 – data ke-10) D9 = 82 + 0,9 (85-82) D9 = 84,7 9 (10 + 1) D9 = ------------- = 9,9 10

Di = Bb + P ( -------------) b. Desil data berkelompok Letak desil ke-i untuk data kelompok (LDi) : Ket : Di = nilai desil ke-i Bb = batas bawah kelas yang mengandung nilai desil P = panjang kelas i = letak desil ke – i Jf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas desil i.n/10 - Jf Di = Bb + P ( -------------) f

Langkah-langkah menghitung nilai desil data berkelompok: a. Cari nilai interval kelas yang mengandung unsur desil dengan rumus : i/10 x n b. Menentukan batas bawah kelas desil (Bb ) c. Menentukan panjang kelas desil (P) d. Menentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas desil (Jf) e. Menentukan banyak frekuensi kelas desil (f) f. Menghitung nilai desil

Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP semester juli-desember 2011 : No. Kelas Interval Kelas Frekuensi 1 25-34 6 2 35-44 8 3 45-54 11 4 55-64 14 5 65-74 12 75-84 7 85-94 65 Hitung nilai D3,D6,dan D9

D1 = 44,5 + 9 (------------------) Di = Bb + P ( -------------) 1. Nilai desil 3 (D3) i/10 x n = 0,3 x 65 = 19,5 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 19,5 = 6 + 8 + 11 = 25 jadi, kelas desil 3 terletak di kelas ke-3 Bb = 45 – 0,5 = 44,5 P = 45 s.d 54 = 9 f = 11 Jf = 6 + 8 = 14 3.65 / 10 - 14 D1 = 44,5 + 9 (------------------) 11 = 44,5 + 9 (0,5) = 49 i.n/10 - Jf Di = Bb + P ( -------------) f

D6 = 54,5 + 9 (------------------) Di = Bb + P ( -------------) 2. Nilai desil 6 (D6) i/10 x n = 0,6 x 65 = 39 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 39 = 6 + 8 + 11 + 14 = 39 jadi, kelas desil 6 terletak di kelas ke-4 Bb = 55 – 0,5 = 54,5 P = 55 s.d 64 = 9 f = 14 Jf = 6 + 8 + 14 = 25 6.65 / 10 - 25 D6 = 54,5 + 9 (------------------) 14 = =54,5 + 9 (1) = 63,5 i.n/10 - Jf Di = Bb + P ( -------------) f

D9 = 64,5 + 9 (------------------) Di = Bb + P ( -------------) 3. Nilai desil 9 (D9) i/10 x n = 0,9 x 65 = 58,5 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 58,5 = 6 + 8 + 11 + 14 + 12 = 51 jadi, kelas kuartil bawah terletak di kelas ke-5 Bb = 65 – 0,5 = 64,5 P = 65 s.d 74 = 9 f = 12 Jf = 6 + 8 + 11 + 14 = 39 9.65 / 10 - 39 D9 = 64,5 + 9 (------------------) 12 = 64,5 + 9 (1,625) = 79,125 i.n/10 - Jf Di = Bb + P ( -------------) f

G. Persentil Disimbolkan dengan P1, P2, …, P99. 3. Persentil, sekumpulan data yang telah disusun mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar, dibagi menjadi seratus bagian yang sama. Disimbolkan dengan P1, P2, …, P99. a. Persentil data tunggal Langkah menghitung Persentil data tunggal : 1. Susun data mulai yang terkecil – terbesar 2. Tentukan letak Persentil 3. Tentukan nilai Persentil

Nilai Persentil data tunggal dapat ditentukan dengan rumus : Ket : Pi = nilai Persentil i = Persentil ke-i n = data i (n + 1) Pi = ------------- 10

Pi = Bb + P ( ---------------) b. Persentil data berkelompok Letak Persentil ke-i untuk data kelompok (LDi) : Ket : Di = nilai Persentil ke-i Bb = batas bawah kelas yang mengandung nilai Persentil P = panjang kelas i = letak Persentil ke – i Jf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas Persentil i.n/100 - Jf Pi = Bb + P ( ---------------) f

Langkah-langkah menghitung nilai Persentil data berkelompok: a. Cari nilai interval kelas yang mengandung unsur Persentil dengan rumus : i/100 x n b. Menentukan batas bawah kelas Persentil (Bb ) c. Menentukan panjang kelas Persentil (P) d. Menentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas Persentil (Jf) e. Menentukan banyak frekuensi kelas Persentil (f) f. Menghitung nilai Persentil

Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP semester juli-desember 2011 : No. Kelas Interval Kelas Frekuensi 1 25-34 6 2 35-44 8 3 45-54 11 4 55-64 14 5 65-74 12 75-84 7 85-94 65 Hitung nilai P10, P50, dan P90

Pi = Bb + P ( ---------------) P10 = 24,5 + 9 (--------------------) 1. Nilai Persentil 10 (P10) i/10 x n = 10/100 x 65 = 6,5 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 6,5 jadi, kelas Persentil 10 terletak di kelas ke-1 Bb = 25 – 0,5 = 24,5 P = 25 s.d 34 = 9 f = 6 Jf = 6 i.n/100 - Jf Pi = Bb + P ( ---------------) f 10.65/100 - 6 P10 = 24,5 + 9 (--------------------) 6 = 25,25

Pi = Bb + P ( ---------------) P50 = 44,5 + 9 (--------------------) 2. Nilai Persentil 50 (P50) i/100 x n = 50/100 x 65 = 32,25 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 32,25 = 6 + 8 + 11 = 25 jadi, kelas Persentil 50 terletak di kelas ke-3 Bb = 45 – 0,5 = 44,5 P = 45 s.d 54 = 9 f = 11 Jf = 6 + 8 = 14 i.n/100 - Jf Pi = Bb + P ( ---------------) f 50.65/100 - 14 P50 = 44,5 + 9 (--------------------) 11 = 59,6

Pi = Bb + P ( ---------------) P10 = 64,5 + 9 (--------------------) 3. Nilai Persentil 90 (P90) i/100 x n = 90/100 x 65 = 58,5 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 58,5 = 6 + 8 + 11 + 14 + 12 = 51 jadi, kelas Persentil bawah terletak di kelas ke-5 Bb = 65 – 0,5 = 64,5 P = 65 s.d 74 = 9 f = 12 Jf = 6 + 8 + 11 + 14 = 39 i.n/100 - Jf Pi = Bb + P ( ---------------) f 90.65/100 - 39 P10 = 64,5 + 9 (--------------------) 12 = 79,1

LATIHAN 1. Data berikut menunjukkan hasil pengukuran tegangan dari 15 kali percobaan : 62, 57, 65, 70, 53, 52, 48, 56, 55, 57, 57, 65, 70, 53, 52. Carilah nilai kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas. 2. Nilai ujian probabilitas dan statistika yang diikuti oleh 83 mahasiswa jurusan Teknik Elektro FT UNP adalah :

No. Kelas Interval Kelas Frekuensi 1 25-34 5 2 35-44 10 3 45-54 13 4 Carilah nilai kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas. No. Kelas Interval Kelas Frekuensi 1 25-34 5 2 35-44 10 3 45-54 13 4 55-64 16 65-74 19 6 75-84 12 7 85-94 8 83

3. Data berikut menunjukkan hasil pengukuran arus pada suatu percobaan dalam mata kuliah rangkaian listrik : 162, 157, 163, 170, 153, 152, 148, 155, 155, 157, 159, 165, 70, 150, dan 158 mA. Hitunglah nilai D1, D5, dan D9. 4. Dari soal nomor 7, berapa nilai desil 3 (D3), desil 6 (D6), dan desil 9 (D9) 5. Dari soal nomor 7, berapa nilai persentil P10, P50, dan P90.