Oleh : Anggi Meylia Saraswati (14144100080) Suratno (141441000 Kelompok 4: Oleh : Anggi Meylia Saraswati (14144100080) Suratno (141441000

Matriks Simetri dan Matriks Simetri Miring Matriks A adalah matriks persegi berdimensi n yang berlaku syarat jika dan hanya jika At= A yaitu elemen aij =aji untuk semua i dan j, maka matriks A disebut matriks simetri. Contoh : Matriks A = perhatikan bahwa a12 = a21 = 4, a13 = a31 = -1, dan a23=a32 = 3. Berarti matriks A adalah matriks simetri. Untuk mencari transpose A = At =

Ciri dari matriks ini adalah semua unsur matriks non diagonal simetri terhadap unsur diagonal. Jadi elemen elemen diagonal berfungsi sebagai “cermin”untuk unsure non diagonal. - Matriks simetri dapat dibentuk dari : Sembarang matriks persegi A, sedemikian hingga A + At (atau At +A) adalah matriks simetri. Sembarang matriks A berdimensi mxn, maka A At (atau At A) adalah matriks simetri.

Hal ini dapat dibuktikan dengan :   Untuk sembarang matriks A, serta B = A+At, maka :  B = A+At Bt = (A+At)t Bt = At+(At)t (sifat transpose matriks) Bt = At+A (sifat transpose matriks) Bt = A+At (sifat komutatif penjumlahan matriks) Bt = B Karena Bt = B = A+At berarti A+At adalah matriks simetri

Untuk sembarang matriks A berdimensi mxn serta C = AAt, maka Ct = (A At)t Ct = (At)t At (sifat transpose matriks) Ct = A At (sifat transpose matriks) Karena Ct = C = A At, berarti A At adalah matriks simetri.

Contoh : Andaikan sembarang matriks persegi A = maka At = B = A + At = Dan matriks Bt = . Tampak bahwa Bt = B, berarti B = A + At adalah matriks simetri.   Untuk matriks A = ,maka At = . Andaikan C = A At = = , Ct = . Tampak bahwa Ct = C, berarti C = A + At adalah matriks simetri.

Matriks Simetri Miring Matriks simetri miring (skew-symmetric matrices) adalah matriks persegi A = (aij) berdimensi n berlaku sedemikian hingga At = -A. Perhatikan bahwa At = -A, maka aji = - aij untuk setiap I dan j. Khusus untuk unsur diagonal ( i=j),maka aii = - aii artinya elemen diagonal suatu matriks simetri miring adalah berupa bilangan yang sama dengan negatifnya, ini tidak lain adalah bilangan 0. Jadi salah satu ciri matriks simetri miring adalah elemen-elemen diagonalnya pasti 0 (nol).

Dari contoh diatas dapat diamati bahwa matriks simetri miring adalah matriks dimana unsur non diagonal yang “simetri cermin” terhadap unsur diagonal saling berlawanan tanda. Andaikan A adalah matriks persegi sembarang, maka matriks (A-At) adalah matriks simetri miring. Hal ini bisa ditunjukkan sebagai berikut : C = (A -At) Ct = (A -At)t Ct = At - (At)t Ct = At – A Ct = -(A -At ) = - M Jadi terbukti bahwa A -At adalah simetri miring

Sembarang matriks persegi juga bisa dinyatakan sebagai jumlah dari matriks simetri dan matriks simetri miring. Dalam hal ini untuk sembarang matriks persegi A, ambilah matriks simetri S = ½ (A + At) dan matriks simetri miring M = ½ (A - At) . Tampak bahwa S + M = A Pembuktian :

Conjugate Matriks Dalam teori bilangan telah diketahui bersama bahwa untuk a dan b bilangan real serta I = , maka bilangan yang dinyatakan dengan z = a +bi disebut dengan bilangan kompleks. Misalnya 3 – 4i,8i, 4; dan -7+5i adalah termasuk bilangan bilangan kompleks. Untuk bilangan kompleks = - 3+4i ---- = -3-4i. Maka conjugate (sekawan) bilangan kompleks z, dinotasikan dengan = = a- bi. Kemudian conjugate dari adalah = = a+bi = z

Andaikan A adalah suatu matriks dengan elemen elemen bilangan kompleks, maka conjugate (sekawan) dari matriks A, dinotasikan dengan , adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mencari conjugate dari setiap elemen elemen matriks A. jadi A = (aij), maka =( ) Andaikan A = (aij) dan B= (bij) adalah matriks matriks yang mempunyai elemen bilangan kompleks, dan masing masing conjugate dari A dan B, serta k adalah scalar dengan adalah conjugate dari k, maka :