FUNGSI VEKTOR DAN TURUNANNYA Andaikan terdapat suatu vektor r = xi + yj + zk dengan x, y, z adalah suatu fungsi skalar yang hanya tergantung pada suatu variabel t. Jadi x = x(t), y = y(t), dan z = z(t) . Dengan demikian diperoleh suatu fungsi vektor yang tergantung pada skalar t, yaitu: r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k Contoh. r = cos t i + sin t j + (t + 3) k
Jika pada suatu kondisi t, r(t) menyajikan vektor posisi dari titik P, kemudian pada saat t + Δt, r(t + Δt) menyajikan vektor posisi dari titik P', maka; P' Δr r (t + Δt) P (x, y, z) r (t) O
Δr = r (t + Δt) – r(t) = (x(t + Δt)i + y(t + Δt)j + z(t + Δt)k) – (x(t)i + y(t)j + z(t)k) = (x(t + Δt) – x(t))i + (y(t + Δt) – y(t))j + (z(t + Δt) – z(t))k
Jadi turunan pertama dari fungsi vektor r = x i + yj + zk adalah Jika r = r(t) menyajikan suatu kurva lintasan dari partikel yang bergerak, maka
Sifat-sifat. jika a, b, dan c adalah fungsi vektor yang tergantung pada t, maka:
Contoh soal Diketahui a = 5t2 i + t j – t3 k dan b = sin t i – cos t j
jawab = (10t i + j – 3t2k)◦(sin t i – cos t j ) + (5t2 i + t j – t3 k) ◦ (cos t i + sin t j) = 10t sin t – cos t + 5t2 cos t+ t sin t = (5t2 – 1) cos t + 11t sin t
= (-3t2 cos t i – 3t2sin t j + (-10t cos t – sin t) k) + (t3 sin t i– t3 cos t j+ (5t2 sin t - t cos t) k) = (t3 sin t -3t2 cos t ) i – (3t2sin t + t3 cos t ) j (5t2 sin t – sin t – 11t cos t) k
soal Suatu partikel bergerak sepanjang kurva dengan persamaan parameter x = e-t, y = 2cos 3t, z = 2 sin 3t dengan t waktu. tentukan kecepatan dan percepatannya pada sembarang saat carilah besar kecepatan dan percepatannya pada saat t = 0