ASSALAMU’ALAIKUM. WR.WB

GEOMETRI ANALITIK DATAR Pertemuan 10 RINA AGUSTINA, M. Pd.

GARIS KUTUB ELIPS 1. Garis kutub dari suatu titik terhadap elips. Y X 𝑆 1 𝑆 2 T( 𝑥 1 , 𝑦 1 )

𝑥 0 𝑥 𝑎 2 + 𝑦 0 𝑦 𝑏 2 =1 dan 𝑥 0 ′𝑥 𝑎 2 + 𝑦 0 ′𝑦 𝑏 2 =1 Dari titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) dibuat garis-garis singgung pada elips 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1. Jika titik – titik singgungnya adalah 𝑆 1 ( 𝑥 0 , 𝑦 0 ) dan 𝑆 2 ( 𝑥 0 ′, 𝑦 0 ′) maka persamaan garis-garis singgungnya adalah : 𝑥 0 𝑥 𝑎 2 + 𝑦 0 𝑦 𝑏 2 =1 dan 𝑥 0 ′𝑥 𝑎 2 + 𝑦 0 ′𝑦 𝑏 2 =1 Garis – garis singung ini melalui T, maka berlaku: 𝑥 0 𝑥 1 𝑎 2 + 𝑦 0 𝑦 1 𝑏 2 =1 dan 𝑥 0 ′ 𝑥 1 𝑎 2 + 𝑦 0 ′ 𝑦 1 𝑏 2 =1

Tampak bahwa koordinat-koordinat 𝑆 1 dan 𝑆 2 memenuhi persamaan 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 + 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1. Ini adalah persamaan garis lurus yang melalui 𝑆 1 dan 𝑆 2 , dan disebut tali busur singgung atau garis kutubnya T terhadap elips. Dengan tidak memperhatikan letak titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) , maka 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 + 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 disebut persamaan garis kutub dari T terhadap elips 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1.

Jika T diluar elips, maka garis kutub menjadi tali busur singgung. Jika T pada elips, maka garis kutub menjadi garis singgung. Jika T didalam elips, maka garis kutub tidak memotong elips.

Jika persamaan elipsnya (𝑥−𝛼) 2 𝑎 2 + (𝑦−𝛽) 2 𝑏 2 =1 Maka persamaan garis kutubnya ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) terhadap elips tersebut adalah : ( 𝑥 1 −𝛼)(𝑥−𝛼) 𝑎 2 + (𝑦 1 −𝛽)(𝑦−𝛽) 𝑏 2 =1

Sifat Utama Garis Singgung Garis singgung disuatu titik pada elips membagi dua sama besar sudut antara garis penghubung titik itu dengan titik api yang satu dan perpanjangan garis penghubung titik tersebut dengan titik api lainnya.

Sifat utama garis singgung Y X 𝐹 2 𝐹 1 T( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) 𝛼 1 𝛼 2 𝛾 𝛽 𝛿

Sifat Utama Garis Singgung Sifat ini akan dibuktikan sebagai berikut: Misalkan persamaan elipsnya 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1 dan T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) suatu titik pada elips. Persamaan garis singgung pada elips di T adalah: 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 + 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 atau 𝑏 2 𝑥 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑦 1 𝑦= 𝑎 2 𝑏 2 𝑡𝑔 𝛽=− 𝑏 2 𝑥 1 𝑎 2 𝑦 1 𝑡𝑔 𝛾= 𝑦 1 𝑥 1 −𝑐 dan 𝑡𝑔 𝛿= 𝑦 1 𝑥 1 + 𝑐

Sifat Utama Garis Singgung 𝑡𝑔 𝛼 2 =𝑡𝑔 𝛽−𝛾 𝑡𝑔𝛽−𝑡𝑔𝛾 1+𝑡𝑔𝛽.𝑡𝑔𝛾 = − 𝑏 2 𝑥 1 𝑎 2 𝑦 1 − 𝑦 1 𝑥 1 −𝑐 1+ − 𝑏 2 𝑥 1 𝑎 2 𝑦 1 . 𝑦 1 𝑥 1 −𝑐 = − 𝑎 2 𝑏 2 + 𝑏 2 𝑐 𝑥 1 𝑐 2 𝑥 1 𝑦 1 − 𝑎 2 𝑐 𝑦 1 = 𝑏 2 (𝑐 𝑥 1 − 𝑎 2 ) 𝑐 𝑦 1 (𝑐 𝑥 1 − 𝑎 2 ) 𝑡𝑔 𝛼 2 = 𝑏 2 𝑐 𝑦 1

Sifat Utama Garis Singgung 𝑡𝑔 𝛼 2 =𝑡𝑔 𝛽−𝛾 𝑡𝑔𝛽−𝑡𝑔𝛾 1+𝑡𝑔𝛽.𝑡𝑔𝛾 = − 𝑏 2 𝑥 1 𝑎 2 𝑦 1 − 𝑦 1 𝑥 1 −𝑐 1+ − 𝑏 2 𝑥 1 𝑎 2 𝑦 1 . 𝑦 1 𝑥 1 −𝑐 = − 𝑎 2 𝑏 2 + 𝑏 2 𝑐 𝑥 1 𝑐 2 𝑥 1 𝑦 1 − 𝑎 2 𝑐 𝑦 1 = 𝑏 2 (𝑐 𝑥 1 − 𝑎 2 ) 𝑐 𝑦 1 (𝑐 𝑥 1 − 𝑎 2 ) 𝑡𝑔 𝛼 2 = 𝑏 2 𝑐 𝑦 1

Sifat Utama Garis Singgung Berarti 𝑡𝑔 𝛼 1 = 𝑡𝑔 𝛼 2 𝛼 1 = 𝛼 2 Sehingga terbukti sifat utama garis singgung.

WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB SELAMAT BELAJAR WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB