RIDHA AMALIAH YUSRIANA THAMRIN RAHMI IBRAHIM ADAUS

BILANGAN KOMPLEKS dan TEORI PERSAMAAN 1

Bentuk Polar dari Bilangan Kompleks Mind Map Bilangan Kompleks Bentuk Polar dari Bilangan Kompleks Teorema sisa dan Persamaan Suku Banyak 2

Bilangan Kompleks 3

Mari kita memeriksa ini!!!! 𝑥 2 +1=0 x2 = -1. persamaan ini salah! mengapa? Karena tidak ada bilangan riil yang berpangkat dua hasilnya negatif , dan tidak ada persamaan kuadrat dalam akar minus Lalu? Bagaimana menyelesaikan persamaannya? Mari kita memeriksa ini!!!! 4

Definisi BilanganKompleks Bilangankompleksz : Pengertian Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah sebuah bilangan yang mempunyai bentuk a + bi, dimana a dan b merupakan bilangan real dan i adalah bilangan imajiner. Bilangan kompleks dapat dinotasikan dengan lambang “z” Definisi BilanganKompleks Bilangankompleksz : merupakanpasanganberurutdengan x,y ∈𝑅 Ditulis : z= (x,y) merupakanbilangan yang berbentukx+yiataua+bidenganx,y∈𝑅dengandani= −1 Ditulis: 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 Jika 𝑧= 𝑥,𝑦 =𝑥+𝑖𝑦 Maka: 𝑥=𝑅𝑒 𝑧 =𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑧 𝑦=𝐼𝑚 𝑧 =𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑖𝑚𝑎𝑗𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑧 𝑖=𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑖𝑚𝑎𝑗𝑖𝑛𝑒𝑟 5

Ingat !!!!!!!! 6

Bidang Kompleks Bilangan kompleksmerupakanpasanganberurut(𝑥,𝑦), sehinggasecarageometridapatdisajikansebagaititik(x,y) padabidangkompleks (bidangxy), dengansumbux(sumburiil) dansumbuy(sumbuimajinair). Selainitu, bilangankompleks𝑧=𝑥+𝑖𝑦jugadapatdisajikansebagaivektordalambidangkompleksdengantitikpangkalpadatitikasaldanujungvektormerupakantitik (x,y) . 7

Operasi Aljabar 8

b. Pengurangan 9

c.Perkalian 10

Contoh Soal: 11

d.Pembagian 12

Modulus Dan Bilangan kompleks sekawan Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks. 13

Secara geometry, |z| menyatakan antara titik (x,y) dan titik asal Misalkan 𝑧 1 = 𝑥 1 +𝑖 𝑦 1 dan 𝑧 2 = 𝑥 2 +𝑖 𝑦 2 . Jarakantara 𝑧 1 𝑑𝑎𝑛 𝑧 2 didefinisikan dengan 14

15

Contoh Soal: 16

Sifat Modulus Dan Bilangan Kompleks Sekawan

dari Bilangan Kompleks Bentuk Polar dari Bilangan Kompleks 17

Gambar diatas memperlihatkan gambaran vector dari a+bi Gambar diatas memperlihatkan gambaran vector dari a+bi. Panjang atau jarak dari vektor diberi label r, dan kalian dapan menganggap bahwa 18

Bentuk Polar 19

Contoh Soal Kemudian 20

Teorema 9.2a Bukti: 21

Contoh Soal 22

Teorema 9.2b Bukti: 23

Teorema 9.2c Bukti: 24

Contoh Soal 25

Teorema De Moivre’s Bukti: 26

Contoh Soal 27

Akar dari Bilangan Kompleks 28

Contoh Soal 29

Teorema sisa Dan Persamaan suku Banyak 30

Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan: 31

Bentuk Umum Suku banyak F(x) jika dibagi oleh P(x) akan diperoleh hasil bagi H(x) dan sisa S(x). Dapat kita tulis: F(x) = P(x).H(x) + S(x) Dimana : P(x) = Pembagi H(x) = Hasil Bagi S(x) = Sisa 32

Teorema Sisa I “Jika suku banyak f(x) dibagi (x-k), maka sisa pembagiannya adalah f(k)” Bukti: Untuk P(x) = (x – k), diperoleh F(x)= P(x) . H(x) + S = (x – k) . H(x) + S   Subtitusi x = k, diperoleh F(k) = (k – k) . H(k) + S F(k) = 0 + S F(k) = S 33

Teorema Sisa II “Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (ax+b) maka sisa pembagiannya adalah “ Bukti : Untuk P(x) = (ax + b), diperoleh F(x)= P(x).H(x) + S Subtitusikan nilai x=-b/a 34

Contoh Soal Tentukan sisa dan hasil baginya jika 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x - 1 Penyelesaian : Diketahui : f(x) = 2x3 - 7x2 + 11x + 5 ax + b = 2x – 1 a = 2 b = -1 35

Selain itu kita dapat menggunakan pembagian horner 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1 Dapat ditulis: 2x3 – 7x2 + 11x + 5 = (x - ½)(2x2 – 6x + 8) + 9 = (2x – 1)(x2 – 3x + 4) + 9 Pembagi : 2x - 1 Hasil bagi : x2 – 3x + 4 Sisa : 9 36

Teorema Sisa III Bukti: “Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisa pembagiannya adalah px + q , di mana f(a) = pa+q dan f(b) = pb+q“ Bukti: Diketahui f(x) = (x – a)(x - b) h(x) + S . Perhatikan bahwa (x – a)(x - b) sehingga sisanya maksimum berderajat 1. Itu terjadi karena jika derajat S lebih dari 1 maka masih dapat dilakukan pembagian terhadap (x – a)(x - b). Misalkan S = px+q, maka f(x) = (x – a)(x - b) h(x) + S f(x) = (x – a)(x - b) h(x) + S(x) f(x) = (x – a)(x - b) h(x) + (px+q) 37

maka jika x diganti dengan a dan b , maka akan diperoleh: Untuk x = a   Untuk x = a f (a) = (a – a)(a - b) h(a) + (pa+q). = 0 ⋅ h(a) + (pa+q) = 0 + (pa+q) = pa+q Untuk x = b f(b) = (b – a)(b - b) h(b) + (pb+q). = 0 ⋅ h(b) + (pb+q) = 0 + (pb+q) = pb+q Jadi, S = px+q , dimana f(a) = pa+q dan f(b) = pb+q 38

Contoh Soal Jika f(x) = x3 +2x2 – x - 5 dibagi x2 – 2x - 3, tentukanlah sisa pembagiannya! Penyelesaian: Diketahui f(x) = x3 +2x2 – x - 5 (x-a)(x-b) = (x2 – 2x - 3) = (x-3)(x+1) Jadi a = 3 dan b = -1 Maka, f(a)= pa + q f(3)= (3 – 3)(3 + 1) h(3) + (p · 3 + q) (3)3 + 2(3)2 – 3 – 5 = 0 ·h(3) + (p · 3 + q) 27 + 18 - 3 – 5 = 0 + (p · 3 + q) 37 = p · 3 + q 37 = 3p + q ………………………. (1) 39

f(-1) = (-1 + 1)(-1 – 3) h(-1) + (p · -1 + q) f(b) = pb + q f(-1) = (-1 + 1)(-1 – 3) h(-1) + (p · -1 + q) (-1)3 + 2(-1)2 – (-1) - 5 = 0 ·h(-1) + (p · -1 + q) -1 + 2 + 1 - 5 = 0 + (p ·(-1) + q) -3 = p · (-1) + q -3 = -p + q ………………………. (2) Menentukan nilai p dan q dengan mensubstitusi kedua persamaan 3p + q = 37 -p + q = -3 4p = 40 p = 10 Substitusi nilai p = 10 ke dalam persamaan (1) 3. 10 + q = 37 30 + q = 37 q = 7 Jadi sisa pembagiannya adalah px+q = 10x + 7 - 40

Teorema Faktor “Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0“ Bukti : Diketahui menurut teorema sisa I f(x) = (x-k) . h(x) + f(k) f(k) = 0, maka diperoleh f(x) = (x – k) ⋅ h(x). Sehingga (x – k) adalah faktor dari f(x). Begitupun sebaliknya, jika (x – k) adalah faktor dari f(x), maka f(x) = (x – k) ⋅ h(x). Jika x = k, maka akan diperoleh:  f(k) = (k – k) ⋅ h(k)        = 0 ⋅ h(k)        = 0 Jadi, f(k) = 0 jika dan hanya jika (x – k) adalah faktor dari f(x) 41

Contoh Soal Tunjukkanlah bahwa 2 adalah akar dari P(x) = 6x3 - 29x2 + 20x + 28 = 0, dan tentukan akar-akar lainnya dari persamaan tersebut! Penyelesaian : Menggunakan pembagian horner Ini menunjukkan bahwa P(x) = (x -2) (6x2 – 17x – 14) Untuk menemukan dua faktor lainnya, kita menyelesaikan 6x2 – 17x –14 6x2 – 17x – 14 = (3x + 2)(2x – 7) Sehingga, P(x) = (x -2) (6x2 – 17x – 14) = (x – 2)(3x + 2)(2x – 7) Jadi faktor dari P(x) = 42

Teorema Pemfaktoran Polinomial “Jika Maka persamaan P(x) = 0 memiliki tepat n akar, sehingga P(x) dapat ditulis dalam bentuk Bukti : Diketahui r1 sebagai akar yang keberadaanya telah dijamin berdasarkan teorema dasar aljabar. Berdasarkan teorema faktor, diketahui x - r1 adalah faktor dari P(x), sehingga P(x) = (x - r1) P1(x) dimana P1(x) adalah suku banyak berderajat n – 1 di x Berdasarkan teorema dasar aljabar P1(x) = 0 juga memiliki akar, yakni r2 sehingga x - r2 adalah faktor dari P1(x) dan P1(x) = (x – r2) P2(x) dimana P2(x) adalah suku banyak berderajat n – 2 di x 43

Sehingga kita dapat menulis suku banyak P(x) = (x - r1)(x – r2) P2(x) Menggunakan cara ini sebanyak n, diketahui bentuk dari P(x) P(x) = (x - r1)(x – r2) … (x – rn)Pn(x) dimana Pn(x) harus berderajat n – n = 0, sehingga Pn(x) adalah konstanta. Dengan membandingkan kita tahu bahwa Pn(x) = an. Oleh karena itu, P(x) = (x - r1)(x – r2) … (x – rn) Hal ini sesuai dengan persamaan P(x) = 0 memiliki n akar, untuk P(x) memiliki nilai nol jika x sama dengan setiap nomor r1, r2, … , rn. Dan lagi, persamaan tidak bisa memiliki lebih dari n roots karena jika hal itu terjadi maka P(x) akan memiliki faktor derajat pertama lebih dari n, salah satu dari akar. Dalam hal ini, P(x) akan berderajat lebih tinggi dari n, yang bertentangan dengan hipotesis bahwa P(x) berderajat n. 44

Contoh Soal Bentuklah persamaan derajat empat yang memiliki 1 - i dan 1 + i sebagai akar-akar sederhana dan 2 sebagai akar ganda Penyelesaian: Menggunakan teorema pemfaktoran suku banyak, bentuk faktor dari persamaan tersebut menjadi [x – (1 – i)][x – (1 + i)] [(x – 2)(x – 2)] = 0 [(x – 1)2 – i2] (x - 2)2 = 0 (x2 – 2x + 2)(x2 – 4x + 4) = 0 x4 – 6x3 + 14x2 – 16x + 8 = 0 45

Teorema Akar – akar Rasional “Jika P(x) adalah suku banyak dengan koefisien bilangan bulat Jika p/q adalah hasil bagi bilangan bulat yang paling sederhana dan P(p/q) = 0, maka p adalah faktor dari konstanta a0 dan q adalah faktor dari koefisien suku terdepan an“ Bukti : Misalkan p/q adalah hasil bagi bilangan bulat terendah dan P(p/q) = 0 Maka 46

Kalikan kedua sisi dengan qn (untuk menghilangkan penyebut) sehingga (p adalah pembagi dari a0) Pisahkan yang mengandung a0: Dari persamaan diatas kita bisa lihat bahwa p membagi ruas kanan. Jadi p pasti juga membagi ruas kiri, a0qn . Karena   sudah dalam bentuk yang paling sederhana, keduanya tidak memiliki faktor persekutuan kecuali 1. Oleh sebab itu, karena p membagi a0qn p pasti membagi a0, konstanta dari P(x). 47

Sekarang dengan metode yang serupa, kita akan tunjukkan bahwa q membagi  yang merupakan koefisien suku terdepan p(x). Dengan menambahkan  ke kedua ruas persamaan sehingga kita akan dapatkan :  Di sini bisa kita lihat bahwa q membagi ruas kanan. Jadi q pasti juga membagi ruas kiri persamaan, anpn. Karena q membagi anpn, q pasti membagi an, yang merupakan koefisien suku terdepan P(x). 48

Contoh Soal Persamaan 2x3 + x2 – 2x – 6 = 0 memiliki akar bilangan rasional. Tentukan akar – akar yang lainnya dari persamaan tersebut! Penyelesaian : Berdasarkan teorema akar-akar rasional p adalah faktor dari -6 dan q adalah faktor dari 2. p: ±1, ±2, ±3, ±6 q: 1, 2 Dengan menggunakan pembagian horner dapat diketahui ± dan ±1 bukan akar dari persamaan di atas. Untuk percobaan dengan : 49

Sisanya nol menunjukkan bahwa adalah akar Sisanya nol menunjukkan bahwa adalah akar. Faktor kedua adalah 2x2 + 4x + 4 dan akar yang tersisa ditemukan dari persamaan 2x2 + 4x + 4 = 0 atau x2 + 2x + 2. Lalu menggunakan rumus kuadrat/rumus abc untuk mencari akar-akarnya yg lain Sehingga diperoleh akar-akar dari persamaan 2x3 + x2 – 2x – 6 adalah , -1 + i, dan -1 - i 50

Teorema Akar Konjugat Contoh Soal “Jika persamaan suku banyak, P(x) = 0, dengan koefisien riil memiliki akar imajiner a + bi (b≠0), maka persamaan tersebut juga memiliki akar a - bi; yang akar imajiner hanya terjadi pada pasangan konjugat” Contoh Soal Jika 3 + i adalah akar dari P(x) = x3 - 8x2 + 22x + 20. Carilah seluruh akar dari P(x)! Penyelesaian: Berdasarkan teorema akar konjugat, 3 – i adalah kawan dari 3 + i sehingga 3 – i merupakan salah satu akar dari P(x). 51

Sehingga P(x) memiliki dua akar yaitu x-(3+i) dan x-(3-i), sehingga (x – 3 - i)(x – 3 + i) = (x - 3)2 – i2 = x2 – 6x + 9 - i2 = x2 – 6x + 10 Lalu P(x) dibagi dengan x2 – 6x + 10 Diperoleh faktor ketiganya adalah x-2. Sehingga tiga akar dari P(x) adalah 3 + i, 3 – i dan 2 52