Variabel Acak Diskrit & Distribusi Peluang https://openstat.wordpress.com/2009/12/18/variabel-acak/ Pertemuan 6

Variabel / peubah Contoh: Perkiraan cuaca di Kota Malang Faktor-faktor yg mempengaruhi perubahan cuaca: suhu udara, tekanan udara, kecepatan angin, kelembaban udara, curah hujan. Variabel cuaca

Variabel / peubah Variabel (“variable” = vary + able) mengandung makna sesuatu yang bervariasi, beragam, berbeda-beda, berubah-ubah, atau bisa diubah atau berganti (“varying; likely to change“) Variabel adalah besaran yang bisa diubah dan selalu berubah sehingga mempengaruhi kejadian dari hasil penelitian.

Variabel random = peubah acak Contoh: Pelemparan dua koin mata uang Apakah saja variable acak-nya? Angka (A) Gambar (G) S = {AG, AA, GA, GG}

Variabel random = peubah acak Fungsi yang memetakan kejadian yang ada di alam menjadi bilangan numerik. Variabel acak diskrit  berupa bilangan bulat Variabel acak kontinu  berupa bilangan real

Variabel random diskrit Peubah acak diskrit merupakan deskripsi numerik dari karakteristik yang diperoleh melalui suatu proses pencacahan Variabel random kontinu Peubah acak kontinu merupakan deskripsi numerik dari karakteristik yang diperoleh melalui suatu proses pengukuran

Tabel 1 Tabel 2 Dari kedua tabel di atas, manakah yang merupakan peubah acak diskrit atau kontinu?

Variabel Random Diskrit f(x) = P(X = x) Fungsi f(x) adalah fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit X, dengan syarat: f(x) ≥ 0 ∑ f(x) = 1

Variabel Random Diskrit Contoh: Pelemparan dua koin mata uang Berapa banyak sisi Angka (A) yg muncul? S = {AG, AA, GA, GG} 1 2 1 0

Bila variable X adalah kejadian munculnya Angka, maka: P(AG) = P(AA) = P(GA) = P(GG) = ¼ f(0) = P(X = 0) = P(GG) = ¼ f(1) = P(X = 1) = P(AG ∪ GA) = P(AG) + P(GA) = ¼ + ¼ = ½ f(2) = P(X = 2) = P(AA) = ¼ Jadi, fungsi sebaran peluang diskritnya adalah ∑ f(x) = 1 Titik Sampel AG AA GA GG X 1 2 x 1 2 f(x) ¼ ½

Contoh Soal 1 Dalam pemeriksaan lampu, ada dua kejadian yg mungkin: Baik (B) dan Mati (M). Pemeriksaan dilakukan dengan mengambil secara acak 3 buah lampu hasil produksi. Cari: Ruang sampelnya Tentukan nilai variabel random / peubah acak bila X menyatakan banyaknya lampu yang rusak Tentukan sebaran peluang variabel random X dan buktikan bahwa åf(x) = 1

S = {BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB, MMM} X = {  0  ,  1     ,   1   ,    2   ,   1    ,    2    ,    2   ,     3     }   x fi P(X=x) 1 1/8 3 3/8 2 Jumlah 8

Untuk mempermudah dalam melihat sebaran probabilitas, dapat digunakan sebuah grafik dengan melukiskan titik- titik (x, f(x)). Dapat digunakan diagram batang ataupun histogram peluang.

Distribusi / sebaran kumulatif Sebaran Kumulatif F(x)/fungsi sebaran dari suatu peubah acak diskrit X dengan sebaran peluang f(x) adalah F(x) = P(X≤ x) = untuk ( - ∞ < x< ∞ )

S = {BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB, MMM} X = {  0  ,   1    ,   1   ,    2   ,   1    ,    2    ,    2   ,     3     }   x fi f(x) 1 1/8 3 3/8 2 ∑ 8 Fungsi kumulatif dari f(x) adalah F(0) = f(0) = 1/8 x < 0 F(1) = f(0)+f(1) = 4/8 0 ≤ x < 1 F(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 7/8 1 ≤ x < 2 F(3) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 8/8 x ≥ 3

Diagram distribusi / sebaran kumulatif (diagram tangga)

Contoh Soal 2 Sebuah pengiriman 8 komputer ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan pembelian acak sebanyak 2unit komputer, carilah sebaran peluang dan sebaran komulatifnya untuk jumlah komputer cacat yang dibeli oleh sekolah?

Banyaknya TV yang rusak yang terbeli oleh sekolah  variable acak X Karena yg dibeli hanya 2 unit, maka nilai x yang mungkin adalah 0, 1, dan 2 Jumlah titik sampel = C(8, 2) = 28 f(0) = P(X = 0) = C(3,0) × C(5,2) C(8, 2) = 10/28 f(1) = P(X = 1) = C(3,1) × C(5,1) C(8, 2) = 15/28 f(2) = P(X = 2) = C(3,2) × C(5,0) C(8, 2) = 3/28

Jadi, fungsi sebaran peluang diskritnya adalah ∑ f(x) = 1 1 2 f(x) 10 28 15 28 3 28 Fungsi kumulatif dari f(x) adalah F(0) = f(0) = 10 28 x < 0 F(1) = f(0)+f(1) = 25 28 0 ≤ x < 1 F(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 28 28 x ≥ 2

Bagaimana menghitung peluang gabungan dari 2 variabel?

Distribusi Probabilitas Bersama (joint) Diskrit Dalam berbagai kasus eksperimen variabel random yg terlibat bisa lebih dari satu. Misal: berat dan tinggi, jarak dengan kecepatan Distribusi Probabilitas Bersama  distribusi probabilitas terjadinya variable random X dan Y secara bersamaan. Jadi fungsi distribusi probabilitas bersama X=x dan Y=y diberikan oleh f(x,y) = P(X=x, Y=y)

Distribusi Probabilitas Bersama (joint) Diskrit Sifat-sifat fungsi distribusi probabilitas bersama: f(x,y)≥0, all x,y Total jumlah = 1

Distribusi Probabilitas Bersama (joint) Diskrit CONTOH (x,y) y 2 3 4 5 x 14 12 11 1 Diberikan data ttg jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumah yang akan dijual sbb *) X kamar tidur, *) Y kamar mandi Hitunglah: sebaran distribusi peluang bersama dari X dan Y peluang terjual rumah dengan 3 kamar tidur dan 2 kamar mandi peluang terjual rumah dengan jumlah kamar paling banyak 5 kamar (kamar tidur + kamar mandi)

JAWAB f(x,y) y Total 2 3 4 5 x 3/50 14/50 12/50 2/50 28/50 11/50 5/50 1/50 19/50 23/50 7/50 50/50

Hitunglah: peluang terjual rumah dengan 3 kamar tidur dan 2 kamar mandi peluang terjual rumah dengan paling banyak rumah dengan jumlah 5 kamar (kamar tidur + kamar mandi) Jawab: f(3,2) = 14/50 f(x+y ≤5) = f(2,2) + f(2,3) + f(3,2) = 3/50 + 0 + 14/50 = 17/50

Distribusi Probabilitas Bersama (joint) Diskrit CONTOH Suatu kotak berisi 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola kuning. Diambil sebanyak satu kali secara acak empat bola sekaligus dari dalam kotak tersebut. Misalkan X adalah kejadian terambil bola merah dan Y addalah kejadian terambil bola biru. Tentukan Distribusi Probabilitas Bersama X dan Y!

JAWAB 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola kuning  diambil 4 bola X adalah kejadian terambil sebanyak x bola merah, nilai x = 0, 1, 2, 3, 4 Y adalah kejadian terambil sebanyak y bola biru, nilai y = 0, 1, 2, 3 Banyaknya semua kejadian yg mungkin terjadi  n(S) = (5+3+2)C4 = 10C4 = 210

JAWAB 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola kuning  diambil 4 bola X adalah kejadian terambil sebanyak x bola merah, Y adalah kejadian terambil sebanyak y bola biru, f(x,y) = P(X=x, Y=y) f(0,0)  0 merah; 0 biru ; 4 kuning?  tdk mungkin = 0 f(0,1) atau f(1,0) 1 merah atau 1 biru ; 3 kuning?  tdk mungkin = 0 f(0,2)  0 merah; 2 biru ; 2 kuning  mungkin f(0,2) = 5C0× 3C2× 2C2 10C4 = 3 210 f(2,1)  2 merah; 1 biru ; 1 kuning  mungkin f(2,1) = 5C2× 3C1× 2C1 10C4 = 60 210

JAWAB f(x,y) y Total 1 2 3 x 3/210 2/210 5/210 15/210 30/210 50/210 10/210 60/210 100/210 20/210 4 35/210 105/210 63/210 7/210