ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

ALJABAR LINIER & MATRIKS Determinan (4) Matriks Invers (5) Sistem Persamaan Linier (6,7,8) Transformasi Linier (9,10) Nilai Eigen dan Vektor Eigen (11,12)

MATRIKS Transpose Matriks Pengertian dan Notasi Matriks Operasi-Operasi pada Matriks Transpose Matriks Jenis-Jenis Matriks Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom suatu Matriks 3 9/17/2018

MATRIKS Matriks Ekuivalen Matriks Elementer Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu Matriks Rank Matriks Partisi Matriks 4 9/17/2018

Jenis-Jenis Matriks Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol Sifat-sifat dari matriks nol : A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 A*0=0, begitu juga 0*A=0. 5

Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D. Contoh : Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama Contoh Onal 6

Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A I*A=A Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol 7

Matriks simetris Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri. Contoh : 1. 2. 8

Matriks Antisimetris Sebuah matriks dikatakan Antisimetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan negatif dari matriks A itu sendiri. Contoh : 9

Matriks Invers JIka A dan B matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C. Notasi matriks invers : A − 1 10

Matriks Komutatif Jika A dan B matriks - matriks persegi dan berlaku AB = BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. Contoh 11

Matriks Idempoten, periodik, Nilpoten Jika berlaku AA = A2 = A, dikatakan matriks bujur sangkar A adalah matriks yang idempoten. Jika p bilangan asli (bulat positif) terkecil sehingga berlaku AAA…A = Ap = A, maka dikatakan A matriks periodik dengan periode p-1. Jika Ar = 0, maka dikatakan A nilpoten dengan indeks r. 12 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Contoh 13 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom suatu Matriks Transformai (operasi) pada baris atau kolom suatu matriks A Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis Hij(A) untuk transformasi baris dan Kij(A) untuk transformasi kolom. 14 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h, ditulis Hi(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k, ditulis Ki(k)(A). Menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis Hij(h)(A) dan menambah kolom ke-i dengan k kali koom ke-j, ditulis Kij(k)(A). 15 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Matriks Ekuivalen Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut EKUIVALEN BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut EKUIVALEN KOLOM. 16 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Matriks Elementer Matriks Elementer adalah suatu matriks yang dihasilkan dari satu kali transformasi elementer terhadap suatu matriks identitas I. Anxn disebut matriks elementer jika dengan sekali melakukan transformasi elementer terhadap suatu matriks identity I diperoleh Anxn. Contoh 17 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu Matriks Ruang baris dari matriks Amn adalah suatu ruang vektor bagian dari Rn yang dibentuk oleh vektor-vektor baris dari A Ruang kolom dari matriks Amn adalah suatu ruang vektor bagian dari Rn yang dibentuk oleh vektor-vektor kolom dari A 18 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Ruang baris dari matriks Amn adalah Contoh : Amn Ruang baris dari matriks Amn adalah Ruang kolom dari matriks Amn adalah 19 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Rank Matriks Setiap matriks dapat dijadikan matriks eselon / eselon tereduksi dengan menggunakan transformasi elementer. Jumlah elemen satu terkiri pada matriks eselon atau jumlah baris yang tidak sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada matriks eselon disebut Rank Matriks. Rank baris dari matriks A adalah banyaknya baris yang bukan baris nol dari matriks eselon/ eselon tereduksi. Rank kolom dari matriks A adalah banyaknya kolom yang bukan kolom nol dari matriks eselon/ eselon tereduksi. Jika Rank Baris = Rank Kolom, maka ditulis r(A) 20 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Petunjuk menentukan Rank (Baris/Kolom) Tentukan elemen Pivot (pada baris/kolom), untuk mempermudah pilih elemen 1 atau –1 Jadikan nol semua elemen yang sekolom/sebaris dengan pivot tersebut. Pada baris /kolom yang tertinggal ( tanpa baris atau kolom yang terdapat pivot): apabila tinggal dua baris /kolom yang tersisa maka tinggal diperiksa apakah baris/kolom tersebut kelipatan jika ya maka salah satu baris /kolom tersebut dapat dijadikan nol.jika tidak langkah selesai apabila masih lebih dari dua baris/kolom lakukan lagi langkah 1 di atas sampai langkah 3.1. 21 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

tentukan Rank dari matriks A Contoh tentukan Rank dari matriks A Dengan menentukan Rank Baris 1. Pilih Pivot pada baris satu kolom satu, yaitu elemen =1 2. Dengan transformasi elementer baris H21(-2) (A); H31(-1) (A); H41(-1) (A) diperoleh matriks 22 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

23 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

24 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

25 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Partisi Matriks Matriks partisi adalah adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks. Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks. Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu. Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya. 26 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

A4x4 disekat dengan satu partisi horizontal menjadi A1;2x4 dan A2;2x4 Contoh A4x4 disekat dengan satu partisi horizontal menjadi A1;2x4 dan A2;2x4 27 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

B3x4 disekat dengan satu partisi vertikal menjadi B1;3x2 dan B2;3x2 Contoh B3x4 disekat dengan satu partisi vertikal menjadi B1;3x2 dan B2;3x2 28 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Operasi transpose 29 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Operasi penjumlahan dan pengurangan 30 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Operasi perkalian 31 9/17/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

32 destyrakhmawati@yahoo.com 9/17/2018