HARAPAN MATEMATIKA Tri Rahajoeningroem, MT Jurusan Teknik Elektro UNIKOM

Pengantar: Distribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau karakteristik yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi suatu distribusi. Karakteristik yang biasa digunakan antara lain rata-rata hitung yang biasa disebut “harapan matematis” (atau nilai harapan) dan variansi. Harapan matetatis ini menentukan tendensi sentral dari distribusi probabilitas. Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat perubah acak tidak tunggal. Misalnya, X dan Y perubah acak, maka nilai harapan dinyatakan , Variansi dari X da Y dinyatakan , dan kovariansi dari perubah acak X dan Y dinyatakan .

Daftar Isi Materi: Rata-rata Perubah Acak Variansi dan Kovariansi Rata-rata dan Variansi dari Kombinasi linier Teorema Chebyshev

4.1. Rata-rata Perubah Acak Rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X ditulis atau . Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik atau nilai harapan dari perubah acak X, dinyatakan sebagai .Rata-rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan letak pusat distribusi probabilitas. Contoh (4.1): Suatu percobaan dua uang logam yang dilantunkan 16 kali. Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul per lantunan, maka X dapat berharga 0, 1, dan 2 Misalkan percobaan itu masing-masing menghasilkan sebanyak 4, 7, dan 5 kali, maka rata-rata banyaknya sisi muka per lantunan [=nilai harapan matematik] adalah

E(X) tersebut adalah rata-rata dan tidak perlu menyatakan hasil yang muncul dalam percobaannya. Rata-rata ini yang disebut rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi probabilitas X, dan juga banyak yang menyebutnya harapan matematik atau nilai harapan dari perubah acak X. Definisi (4.1): Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan (atau rata-rata) perubah acak X adalah

Carilah nilai harapan banyaknya statistikawan yang duduk dalam Contoh (4.2): Carilah nilai harapan banyaknya statistikawan yang duduk dalam panitia adalah 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 statistikawan dan 3 ahli biologi. Jawab: Misalkan X = banyaknya statistikawan dalam panitia. X = {0, 1, 2, 3} Fungsi probabilitasnya dinyatakan sebagai Dari perhitungan diperoleh:

x 1 2 3 f(x) Dibuat tabel distribusi probabilitas X Jadi nilai harapan (rata-rata) banyaknya statistikawan yang duduk dalam panitia adalah: x 1 2 3 f(x)

Jadi bolam lampu tersebut dapat diharapan (rata-ratanya)) Contoh(4.3) Hitunglah harapan umur dari bolam lampu, jika diketahui bahwa X perubah acak yang menyatakan umur (dalam jam) dari bolam lampu, yang dinyatakan dalam bentuk berikut: Jawab: menurut definisi Jadi bolam lampu tersebut dapat diharapan (rata-ratanya)) berumur 200 jam

Teorema (4.1): Contoh (4.4): x 4 5 6 7 8 9 P(X=x) Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan perubah acak g(X) adalah Contoh (4.4): Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00 – 14.00 mempunyai distribusi probabilitas seperti pada tabel di bawah ini: Tabel 4.2. Distribusi Probabilitas X x 4 5 6 7 8 9 P(X=x)

Jika diketahui bahwa g(X) = 2X-1 menyatakan upah para karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut (dalam ribuan rupiah), maka tentukan pendapatan yang diharapan karyawan perusahaan tersebut. Jawab: Jadi harapan penerimaan upah para karyawan = Rp 12,67

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi padat pobabilitas: Contoh(4.5) Jika X suatu perubah acak dengan fungsi padat pobabilitas: Maka hitung nilai harapan g(x) = 4X+3 Jawab: Nilai harapan g(x) = 4X+3 adalah

Definisi (4.2): 1. Untuk X dan Y diskret 2. Untuk X dan Y kontinu Jika X dan Y, perubah acak dengan fungsi probabilitas gabungan f(x,y), maka nilai harapan perubah acak g(X,Y) adalah 1. Untuk X dan Y diskret 2. Untuk X dan Y kontinu

Tabel. 4.3. Distribusi Peluang Gabuangan X dan Y Contoh (4.6): Jika X dan Y suatu perubah acak dengan distribusi peluang gabungan seperti tabel berikut: Tabel. 4.3. Distribusi Peluang Gabuangan X dan Y Hitung nilai harapan g(X,Y) = XY f(x,y) X Jumlah baris 0 1 2 Y 1 2 Jumlah kolom

Jawab:

Contoh(4.7): Hitung nilai harapan untuk fungsi padat peluang Jawab:

Catatan: Jika dalam definisi (4.2) g(X,Y) = X, maka dan dimana: g(x) distribusi marginal X dan h(y) distribusi marginal Y

4.2. Variansi dan Covariansi Variansi perubah acak X yang akan dibahas disini sangat berguna dalam memberikan gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar nilai rata-rata . Variansi dari perubah acak X diberi notasi Var(X) atau akar positip dari variansi, disebut simpangan baku X. Definisi (4.3): Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x) dengan rata-rata , , maka variansi X adalah

Variansi perubah acak X adalah Bukti: (kasus diskret) Teorema (4.2): Variansi perubah acak X adalah Bukti: (kasus diskret) karena dan Maka diperoleh

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x), maka Teorema (4.3): Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x), maka variansi perubah acak g(X) adalah a. untuk kasus diskret b. untuk kasus kontinu Bukti: Langsung menggunakan teorema (4.1) dan definisi (4.3)

Definisi (4.4): Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas gabungan f(x,y), maka kovariansi X dan Y adalah a. untuk kasus X dan Y diskret b. untuk kasus X dan Y kontinu

Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata dan Teorema (4.4): Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata dan diberikan oleh rumus: Bukti: a. untuk kasus X dan Y diskrit

Karena Maka diperoleh: b. Untuk kasus X dan Y kontinu (seperti a) dg mengganti tanda jumlahan dengan integral)

Tabel 4.4. Distribusi Probabilitas X Contoh (4.8): Berikut ini perubah acak X menyatakan banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin jika 3 suku cadang disampling dari rantai produksi dan diuji. Kemudian hitung variansinya pada tabel di bawah ini   Tabel 4.4. Distribusi Probabilitas X Jawab: Jadi banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin mempunyai variansi sebesar 0,4979 x 1 2 3 f(x) 0,51 0,38 0,10 0,01

Contoh(4.9) Permintaan mingguan Coca Cola (dalam liter), pada jaringan pemasaran daerah merupakan perubah acak yang dapat dinyatakan dalam bentuk berikut: Carilah rata-rata dan variansinya Jawab: Jadi rata-ratanya, dan variansinya,

Hitung variansi g(X) = 2X+3 ,jika perubah acak dengan distribusi Contoh(4.10): Hitung variansi g(X) = 2X+3 ,jika perubah acak dengan distribusi probabilitas: Tabel 4.5. Distribusi Probabilitas X Jawab: Pertama-tama hitung rata-rata perubah acak 2X+3   Menggunakan teorema (4.3) pada kasus ini diperoleh y 1 2 3 f(y)

Dari contoh (4.5) diperoleh; Jika X perubah acak dengan fungsi probabilitas seperti contoh (4.5), maka cari variansi perubah acak g(X) = 4X + 3 Jawab: Dari contoh (4.5) diperoleh; Menggunakan teorema (4.3) pada kasus ini diperoleh:

Jadi variansi perubah acak g(X) = 4X + 3 adalah:

Dari contoh (4.6) diperoleh Jika perubah acak X dan Y diberikan seperti pada contoh (4.6) dengan distribusi probabilitas gabungan pada tabel (4.1) maka carilah kovariansi dari X dan Y Jawab: Dari contoh (4.6) diperoleh Sekarang pada kasus ini diperoleh:

dan Sehingga diperoleh kovariansi dari X dan Y adalah:

Jawab: Jika perubah acak X dan Y dengan fungsi padat gabungan Contoh (4.13): Jika perubah acak X dan Y dengan fungsi padat gabungan diberikan sbb: maka carilah kovariansi dari X dan Y Jawab: Dari contoh (3.10) diperoleh: dan Dan dapat dinyatakan sebagai: dan

Fingsi padat gabungan diatas, diperoleh: Dan Jadi kovariansi dari X dan Y  

4.3. Rata-rata dan Variansi dari Konbinasi Linier Dibawa ini diberikan beberapa sifat yang berguna untuk menyederhanakan perhitungan rata-rata dan variansi Teorema (4.5): Jika a dan b konstanta sembarang, maka Bukti: Menurut definisi nilai harapan (kasus kontinnyu) Karena: dan

Menurut teorema diatas dapat dinyatakan Akibatnya: 1. Jika diambil a=0, maka 2. Jika diambil b=0, maka Contoh (4.14): Kembali ke contoh (4.4) menggunakan diatas tentukan perubah acak Jawab: Menurut teorema diatas dapat dinyatakan Dari contoh (4.4) diperoleh Jadi

Menurut teorema diatas dapat dinyatakan sebagai: Contoh (4.15): Kembali ke contoh (4.5) menggunakan diatas tentukan perubah acak Jawab: Menurut teorema diatas dapat dinyatakan sebagai: Dari contoh (4.5) diperoleh Jadi Hasilnya sama seperti pada contoh (4.5)

Menurut definisi (kasus kontinnyu) Teorema (4.5): Nilai harapan selisih dua (atau lebih) fungsi perubah acak X sama dengan jumlah selisih dua (atau lebih) nilai harapan fungsi tersebut, yaitu Bukti: Menurut definisi (kasus kontinnyu) Analog untuk kasus diskrit

Menurut teorema diatas pada fungsi diperoleh Contoh (4.16): Diketahui X perubah acak dengan distribusi probabilitas sbb: Tabel 4.6. Distribusi Probabilitas X Carilah nilai harapan Jawab: Menurut teorema diatas pada fungsi diperoleh Dengan Jadi x 1 2 3 f(x)

Menurut teorema diatas: Contoh (4.17): Jika diketahui X perubah acak dengan fungsi padat sbb: Carilah nilai harapan Jawab: Menurut teorema diatas: Akibatnya: Jadi

Menurut definisi (kasus kontinnyu) Teorema (4.7): Nilai harapan selisih dua (atau lebih) fungsi perubah acak X dan Y sama dengan jumlah selisih dua (atau lebih) nilai harapan fungsi tersebut, yaitu Bukti: Menurut definisi (kasus kontinnyu) Analog untuk kasus diskrit

Menurut definisi diatas (kasus kontinnyu) Akibatnya: 1. Jika maka diperoleh: 2. Jika maka diperoleh Teorema (4.8): Jika X dan Y merupakan dua perubah acak bebas, maka Bukti: Menurut definisi diatas (kasus kontinnyu)

Periksa apakah dipenuhi? Karena X dan Y bebas, maka dapat ditulis Dimana g(x) dan h(x) merupakan distribusi pias, sehingga Contoh (4.17): Misalkan X dan Y perubah acak bebas dengan distribusi probabilitas gabungan: Periksa apakah dipenuhi?

Jawab

Bukti: Menurut definisi, Jika a dan b konstanta sembarang, maka dan Jadi Teorema (4.9): Jika a dan b konstanta sembarang, maka Bukti: Menurut definisi, dan

Akibatnya: 1. Jika a=1, maka Sehingga: Akibatnya: 1. Jika a=1, maka 2. Jika b=0, maka Teorema (4.10): Jika X dan Y perubah acak dengan distibusi probabilitas f(x,y) maka Bukti: Menurut definisi,

1. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka Akibatnya: 1. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka 2. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka 3. Jika perubah acak bebas, maka berlaku

Jawab: Jika X dan Y perubah acak dengan variansi ; Contoh (4.18): Jika X dan Y perubah acak dengan variansi ; dan kovariansi . Carilah variansi perubah acak : Jawab: Contoh (4.19): Misalkan X dan Y perubah acak bebas dengan variansi ; .. Carilah variansi perubah acak Jawab:

4.4. Teorema Chebyshev Telah dikemukakan diatas bahwa variansi perubah acak akan memberikan gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar rata-rata. Bila variansi dan simpangan baku dari perubah acak kecil maka dapat diharapkan bahwa pengamatan akan mengelompok di sekitar nilai rata-rata. Sehingga probabilitas perubah acak dalam selang tertentu di sekitar rata-rata akan lebih besar dari perubah acak serupa, yang lebih besar simpangan bakunya. Tetapi jika nilai besar menyatakan keragaman yang lebih besar, sehingga dapat diharapkan pengamatan akan lebih menyebar. Perhatikan gambar 4.1dibawah ini.

Distribusi Kontinyu Gambar 4.1. Keragaman pengamatan di sekitar rata-rata

Gambar 4.2. Keragaman pengamatan dengan

Teorema 4.11 (teorema Chebyshev) Probabilitas setiap perubah acak X mendapat nilai dalam k-simpangan baku dari nilai rata-rata adalah sekurang-kurangnya yaitu Contoh (4.20): suatu perubah acak X mempunyai rata-rata dan sedangkan distribusi probabilitasnya tidak diketahui. Hitunglah a. P(-4 < X < 20) b. Jawab: a.