Sistem-Sistem Bilangan Sistem-Sistem Bilangan secara matematis: Contoh-2: desimal: 5185.6810 = 5x103 + 1x102 + 8x101 + 5x100 + 6 x 10-1 + 8 x 10-2 = 5x1000 + 1x100 + 8x10 + 5 x 1 + 6x.1 + 8x.01 biner (radiks=2, digit={0, 1}) 100112 = 1  16 + 0  8 + 0  4 + 1  2 + 1  1 = 1910 | | MSB LSB 101.0012 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 0x.5 + 0x.25 + 1x.125 = 5.12510

Sistem-Sistem Bilangan Umum Radiks Himpunan/elemen Digit Contoh Desimal r=10 r=2 r=16 r= 8 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 25510 Biner {0,1,2,3,4,5,6,7} 3778 {0,1} 111111112 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F} FF16 Oktal Heksa desimal Biner 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Heksa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Desimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Konversi Radiks-r ke desimal Ekspansikan dgn menggunakan definisi berikut Contoh-2: 1101.1012 = 123 + 122 + 120 + 12-1 + 12-3 = 8 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125 = 13.62510 572.68 = 582 + 781 + 280 + 68-1 = 320 + 56 + 16 + 0.75 = 392.7510 2A.816 = 2161 + 10160 + 816-1 = 32 + 10 + 0.5 = 42.510 132.34 = 142 + 341 + 240 + 34-1 = 16 + 12 + 2 + 0.75 = 30.7510 341.245 = 352 + 451 + 150 + 25-1 + 45-2 = 75 + 20 + 1 + 0.4 + 0.16 = 96.5610

Konversi Desimal ke biner Konversi bilangan desimal bulat: Gunakan pembagian dgn 2 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi least significant bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB). Contoh: Konersi 17910 ke biner: 179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB) / 2 = 44 sisa 1 / 2 = 22 sisa 0 / 2 = 11 sisa 0 / 2 = 5 sisa 1 / 2 = 2 sisa 1 / 2 = 1 sisa 0 / 2 = 0 sisa 1 (MSB)  17910 = 101100112

Konversi desimal ke biner – lanj. Konversi fraksi-fraksi desimal ke biner: kalikan dengan 2 secara berulang sampai fraksi hasil perkalian = 0 (atau sampai jumlah penempatan biner yang diharapkan). Digit kesleuruhan hasil perkalian memrupakan jawaban, dengan yang pertama  MSB, dan yang terakhir LSB. Contoh: Konversi 0.312510 ke biner Digit hasil .3125  2 = 0.625 0 (MSB) .625  2 = 1.25 1 .25  2 = 0.50 0 .5  2 = 1.0 1 (LSB)  0.312510 = .01012

Penjumlahan aritmatika Biner Mirip spt penjumlahan bil. Desimal, dua bil. biner dijumlahkan melalui penambahan setiap pasangan bit-bit bersamaan dengan propagasi carry. Contoh: Cout dr bit ke-5 = Cin dr bit ke-6

Pengurangan aritmatika Biner Dua bil. Biner dikurankan melalui pengurangan setiap pasangan bit-bit berikut suatu borrowing, jika diperlukan. Contoh:

Representasi-2 bilangan biner negatif Besaran bertanda (Signed-magnitude) Gunakan MSB sbg bit tanda (sign bit), dan sisa sbg besran (magnitude) Contoh: 111111112 = -12710 Jangkauan mulai -2(n-1)+1 s/d 2(n-1)–1 u/ sebuah bil. biner n-bit Sign bit tidak digunakan u/ operasi aritmatika Komplemen satu (Ones’-complement) MSB sbg sign bit; komplemenkan seluruh bit-2 u/ memperoleh bil. negatif Contoh: 11910 = 01110111, -11910 = 10001000 Jangkauanya sama spt representasi “signed-magnitude” Sign bit akan digunakan dalam operasi aritmatika Komplemen dua (Two’s-complement) MSB sbg sign bit; komplemenkan seluruh bit-2 dan tambah 1 u/ memperoleh bilangan negatif Conoth: -11910 = 10001001 Jangkauan mulai dari -2(n-1) s/d 2(n-1)–1 u/ sebuah bil biner n-bit `Sangat baik’ u/ operasi aritmatika

Perbandingan dari representasi yang berbeda Hanya 2’s-complement membentuksebuah siklus counting

Sifat-2 penting (Key properties) dari 2’s-complement Represntasi nol (zero) yang unikn Signed-magnitude dan 1’s-complement memiliki dua nol dapat merepresentasikan satu bil. ekstra: -2(n-1) s/d 2(n-1)–1 Disamping operasi `add-one’ dlm penegatifan sebuah bil., komplemen dari komplemen sebuah bilangan adalah bilangan asal (original number. Nilai bil. 2’- complement n-bit dinyatakan sbb.: D 2’s-complement = dn-1-2 n-1 + dn-22n-2 … d121 + d0 Contoh: 10112 = 1-23 + 022 + 121 + 1 = -8 + 0 + 2 + 1 = -5 Ekstensi tanda (Sign-extension): Sebuah bil 2’s-complement n=bit dpt dikonversi menjadi bil m-bit dimana m>n melalui penambahan m-n kopi dr sign bit ke kiri bilangan. Contoh: 1011 4-bit 2’s-complement = 11111011 8-bit 2’s-complement – terbukti !! Penjumlahan dan pengurangan bil.-2 2’s complement seperti halnya bilangan tak bertanda, namun melalui aturan deteksi overflow yang sederhana

Penjumlahan/pengurangan 2’s complement Operasi-2 yang sama baik u/ bil. positif maupun negatif `Penjumlahan’ contoh-2: 4 0100 -2 1110 + -7 1001 + -6 1010 -3 1101 -8 1 1000 Pengurangan dilakukan dgn penambahan 2’s complement dari bil. Mirip spt bil. desimal Implementasi sederhana dgn menggunakan rang. digital – ? invert bit-bit dan tambahkan sebuah Cin=1 menjadi bit LSA Overflow: Hasil melebihi range -2(n-1) s/d 2(n-1)–1 terjadi jk signs (MSBs) dari kedua operand sama dan sign hasil berbeda Dpt juga dideteksi dgn membandingkan Cin dan Cout dari sign bi Implementasi  gunakan XOR. Ignore carry out from MSB

Penjumlahan/pengurangan One’s-complement Jika terdapat sebuah “carry out’ dari posisi sign position, tambah 1 Contoh. -2 1101 + -5 1010 -7 10111 + 1 1000 Perkalian Biner Perkalian dilakukan melalui penambahan sebuah list dari shifted multiplicands menurut digit pengali (multiplier) Contoh: (tak bertanda (unsigned)) 11 1 0 1 1 multiplicand (4 bits) X 13 X 1 1 0 1 multiplier (4 bits) -------- ------------------- 33 1 0 1 1 11 0 0 0 0 ______ 1 0 1 1 143 1 0 1 1 --------------------- 1 0 0 0 1 1 1 1 Hasil kali (8 bits)

Perkalian Biner – lanjut Disamping metode sebelumnya, kita dapat menambahkan setiap shifted multiplicand dengan sebuah “partial product”. Contoh sbelumnya menjadi sbb/: 11 1011 multiplicand x 13 x 1101 multiplier 143 0000 partial product 1011 shifted multiplicand 01011 partial product 0000 shifted multiplicand 001011 partial product 1011 shifted multiplicand 0110111 partial product 1011 shifted multiplicand 10001111 product

Perkalian 2’s-complement Sebuah urutan penjumlahan two’s-complement dari shifted multiplicands kecuali untuk pada step terakhir dimana shifted multiplicand sesuai dgn MSB harus di- “2’s complementkan (negatifkan dan tambah 1). Sebelum menambahkan sebuah shifted multiplicand dgn partial product, sebuah bit tambahan ditambahkan ke kiri dari partial product dgn menggunkan sign extension. Contoh: - 5 1011 multiplicand x - 3 x 1101 multiplier 15 00000 partial product 11011 shifted multiplicand 111011 partial product 00000 shifted multiplicand 1111011 partial product 11011 shifted multiplicand 11100111 partial product 00101 shifted and 2’s comp. 00001111 product tambahan bit dgn Menggunakan sign extension

Pembagian Biner Proses pembagian pada sistem biner menggunakan proses pembagian berekor yaitu sebagai berikut: Kurangi bilangan yang dibagi dengan kelipatan pembagi yang berbobot tertinggi Jumlah kelipatan x bobot yang merupakan hasil bagin dijumlahkan dengan hasil bagin-1 Bila sisa bagi (bilangan yang dibagi – kelipatan pembagi berbobot tertinggi) >= pembagi, lakukan step 1 dan 2 hingga diperoleh kelipatan pembagi berbobot tertinggi < pembagi Hasil Bagi dan sisa bagi telah ditemukan Contoh : 4010 / 310 0010 10002 / 00112