limit

Penggunaan Konsep Limit Fungsi dalam Pemecahan Masalah Matematika SMA ( Semester Genap ) Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi dalam Pemecahan Masalah Sasaran : Kelas XI Durasi Sajian : 3 x 45 Menit

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik terhingga dan tak terhingga; Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.

Tujuan Pembelajaran Dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik terhingga dan tak terhingga; Dapat menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri; Dapat menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu limit fungsi aljabar dan trigonometri.

? Mengapa Belajar Limit Penting untuk bernalar matematis; Sangat membantu dalam memahami bidang kajian lain seperti fisika, kimia, biologi, teknik, ekonomi, dan lain-lain.

Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis (kalkulus) maka: Amati arah terbang dua ekor burung menuju sangkar dari arah yang berbeda. Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis (kalkulus) maka: Tiang sangkar sebagai garis x = c; Jejak terbang burung identik dengan grafik fungsi y = f(x); Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke sangkar atau mendekati c; Ketinggian burung pada saat tiba dalam sangkar misalkan L; y = f(x) L X x=c Ditulis: L ) x ( f lim c = ®

X Y f(x) L ) x ( f lim c = ® L Definisi tersebut mempunyai arti, bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c maka f(x) dekat ke L. Seberapa dekat? Untuk memperjelas permasalahan ini perhatikan grafik fungsi f(x) di kolom sebelah kiri. c Jika x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) akan semakin mendekati L. Jadi, kita peroleh: L ) x ( f lim dan c = Û + - ®

Fungsi tidak terdefinisi pada Grafik fungsi 3 x 9 ) ( f 2 - = X Y 3 6 Contoh 1: Tentukan nilai dari 3 x 9 lim 2 - ® Penyelesaian: Fungsi tidak terdefinisi pada x = 3, karena diperoleh bentuk (tak tentu). Ambil beberapa nilai x yang mendekati 3 dari kiri maupun dari kanan. 3 x 9 ) ( f 2 - = x mendekati 3 dari kiri  x mendekati 3 dari kanan x 2,5 2,99 2,999 ... 3 3,001 3,01 3,5 f(x) 5,5 5,99 5,999 6 6,001 6,01 6,5 f(x) mendekati 6  Dengan cara aljabar: 3 x ) )( ( lim 9 2 - + = ® 6 ) 3 x ( lim = + ®

Fungsi tidak terdefinisi pada Grafik fungsi 3 x 9 ) ( f 2 - + = Contoh 2: Tentukan nilai dari 3 x 9 lim 2 - + ® X Y 20 40 -20 -40 4 2 Penyelesaian: Fungsi tidak terdefinisi pada x = 3, karena diperoleh bentuk (tak tentu). Lakukan pendekatan seperti pada contoh 1. 3 x 9 ) ( f 2 - + = x mendekati 3 dari kiri  x mendekati 3 dari kanan x 2 2,99 2,999 ... 3 3,001 3,01 4 f(x) 13 1794,01 17994 ? 18006 1806,01 25 f(x) mendekati bilangan negatif yang sangat kecil  f(x) mendekati bilangan positif yang sangat besar x=3 Asimtot Tegak

Grafik fungsi 3 x 9 ) ( f 2 - + = Dari gambar grafik nampak bahwa jika x mendekati 3 dari kiri maka f(x) akan mendekati bilangan negatif tak hingga. X Y 20 40 -20 -40 4 2 x=3 Asimtot Tegak -¥ = - + ® 3 x 9 lim 2 Sebaliknya jika x mendekati 3 dari kanan maka f(x) akan mendekati bilangan positif tak hingga. +¥ = - + ® 3 x 9 lim 2 Karena 3 x 9 lim 2 - + ¹ ® maka nilai dari: ada tidak 3 x 9 lim 2 - + ®

Y Bagaimana dengan ? 1 lim x X Y +∞ -∞ Contoh 3: Bagaimana dengan ? x 1 lim ¥ ® Penyelesaian: Dengan pendekatan nilai x positif tanpa batas (+∞) dan negatif tanpa batas (-∞). Lihat tabel dan grafik. ( 100 ; 0,01 ) ( 1000 ; 0,001 ) ( 10.000 ; 0,0001 ) ( 100.000 ; 0,00001 ) ( 1.000.000 ; 0,000001 ) x 1 lim = ¥ ® Kita peroleh nilai: ( -1.000.000 ; -0,000001 ) ( -100.000 ; -0,00001 ) ( -10.000 ; -0,0001 ) ( -1000 ; -0,001 ) ( -100 ; -0,01 ) x mendekati bilangan negatif yang sangat besar x mendekati bilangan positif yang sangat besar x - ∞ ... -1.000.000 -100.000 -10.000 -1.000 -100 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 + ∞ f(x) -0,000001 -0,00001 -0,0001 -0,001 -0,01 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 f(x) semakin mendekati nol (0)

) x ( f lim ) x ( f lim Flowchart untuk menghitung nilai: ¥ ® Flowchart untuk menghitung nilai: ) x ( f lim c ® Start Start Rasional? Tidak Substitusi x = c Ya Bentuk tak tentu? Tidak Bagi dengan pangkat tertinggi Rasionalkan/ kalikan akar sekawan kemudian bagi pangkat tertinggi Ya Lakukan pemfaktoran atau rasionalkan bentuk akar Lanjutkan Hitung Hasil Stop Hasil Stop

a) Lakukan pemfaktoran Contoh 4: Tentukan nilai dari: a) Lakukan pemfaktoran ) 1 x ( )( lim 2 3 - + = ® 1 x lim 3 - ® a) 1 x lim 2 + = ® x 4 2 lim - ® 3 1 2 = + b) 3 1 x lim = - \ ® 3 x 2 1 4 lim + - ¥ ® Kalikan akar sekawan c) b) Rasionalkan bentuk akar x 4 2 lim - + ´ = ® d) ) x 4 ( lim 2 + - ¥ ® ) x 4 ( 2 lim - + = ® Penyelesaian: Untuk soal (a) dan (b) jika dilakukan substitusi akan diperoleh bentuk tak tentu x ) 4 2 ( lim - + = ® Sehingga, 4 2 x lim = - + ® 4 x 2 lim = - \ ®

adalah fungsi rasional. 3 x 2 1 4 lim + - ¥ ® adalah fungsi rasional. Rasionalkan dengan cara kalikan akar sekawan, selanjutnya bagi pangkat tertinggi. c) Mengapa? Karena fungsi rasional maka langsung bagi pangkat tertinggi ) x ( 2 L = + - ¥ ® ) x 4 ( lim 2 Kalikan akar sekawan x 4 ) ( lim 2 + ´ - = ¥ ® 2 x 3 1 4 lim + - = ¥ ® x 4 ) ( lim 2 + - = ¥ ® x 4 lim 2 + - = ¥ ® 2 x 3 1 4 lim + - = ¥ ® x 4 1 lim 2 + - = ¥ ® 2 3 = + - 2 1 4 - = + 2 3 x 1 4 lim = + - \ ¥ ® 2 ) x 4 ( lim - = + \ ¥ ® d) bukan fungsi rasional. Mengapa? ) x 4 ( lim 2 + - ¥ ®

 Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka:  dimana: ; utk n genap    Kita lihat contoh penerapannya!   

( ) Tentukan nilai dari: a) ) 4 x 7 ( lim - ÷ ø ö ç è æ + - 1 x 2 3 Contoh 5: Tentukan nilai dari: a) ) 4 x 7 ( lim 1 - ® ÷ ø ö ç è æ + - ® 1 x 2 3 lim ( ) x g lim f c ® ± = b) Teorema  Penyelesaian: ) x ( f lim k kf c ® = a) ) 4 x 7 ( lim 1 - ® 4 lim x 7 1 ® - = Teorema  4 lim x 7 1 ® - = 4 ) 1 ( 7 - = 3 =

( ) 1 x 2 lim ) 3 ( + - = ) x ( g lim ; f ¹ = ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ ® ) x ( g lim ; f c ¹ = ÷ ø ö ç è æ ® ÷ ø ö ç è æ + - ® 1 x 2 3 lim Teorema  b) ( ) x g lim f c ® ± = Teorema  ) 1 x 2 ( lim 3 + - = ® n c x ) ( f lim ® = Teorema  1 lim x 2 3 ® + - = 1 ) 2 ( 3 + - = 1 8 2 6 4 + - = 3 8 =

Beberapa sifat yang sering dipakai: x O 1 A B C D X Y Bukti untuk sifat  Beberapa sifat yang sering dipakai: 1 x sin lim = ®  1 x sin lim = ®  1 x cos lim = ®  x cos lim = ®  (I) Misalkan: jari-jari lingkaran ( r ) = 1 satuan panjang, BOA = x 2 x p < 1 x tan lim = ®  ∆OAB dan ∆OCB adalah segitiga siku-siku. 1 x tan lim = ® AB x sin AB 1 = Þ  x sin = OB BC x tan BC 1 = Þ x tan = OB x BD busur Panjang =

AB < BD < BC  sin x < x < tan x O 1 A B C D X Y Bukti untuk sifat  AB < BD < BC  sin x < x < tan x (dibagi sin x) 1 x sin cos < Þ (II) Untuk maka x 2 < p - 1 x sin cos < 1 x sin cos < - Þ î í ì - = x sin cos karena: 1 x sin cos < - Þ 1 x sin cos < Þ (I) Misalkan: jari-jari lingkaran ( r ) = 1 satuan panjang, BOA = x 2 x p < Dari bentuk (I) dan (II) maka: ; 2 x p < - 1 sin cos ∆OAB dan ∆OCB adalah segitiga siku-siku. 1 lim x sin cos ® < AB x sin AB 1 = Þ x sin = OB 1 cos x lim = ® BC x tan BC 1 = Þ 1 x sin lim = ® x tan = OB x BD busur Panjang =

Tentukan nilai dari: ) sin 1 ( lim cos - = b) x 2 3 sin lim a) sin lim Contoh 6: Tentukan nilai dari: 2 x ) sin 1 ( lim cos - = ® b) x 2 3 sin lim ® a) 2 x sin lim ® = 2 x cos 1 lim - ® b) 2 x sin lim ® = Penyelesaian: 2 x sin lim ÷ ø ö ç è æ = ® 2 3 x sin lim × = ® a) x 3 sin lim 2 ® = 2 1 × = 2 = 1 2 3 × = 2 x cos 1 lim = - \ ® 2 3 = 2 3 x sin lim = \ ®

“Klik pada tombol untuk memilih soal”

.... 1 x lim = + - 1. 1 x ) )( ( lim + - = 2 - 1 - ) 1 x ( lim - = 1 - ® 1. 1 x ) )( ( lim 2 + - = ® 2 - 1 - ) 1 x ( lim - = ® 1 - = 2 2 - = ¥ 2 1 x lim - = + \ ® Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

.... 2 x 6 lim = - + 2. 2 x ) 3 )( ( lim 6 - + = 2 3 ) 3 x ( lim + = 4 ® 2. 2 x ) 3 )( ( lim 6 - + = ® 2 3 ) 3 x ( lim 2 + = ® 4 3 2 + = 5 5 = 6 5 2 x 6 lim = - + \ ® Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

.... 4 x 16 lim = - 3. 4 x 16 lim - ´ = 4 - 4 x ) 16 ( lim - = 3 - 4 x 2 = - ® 3. 4 x 16 lim 2 - ´ = ® Rasionalkan bentuk akar 4 - 4 x ) 16 ( lim 2 - = ® 3 - 4 x ) )( ( lim - + = ® 3 4 4 x ) ( lim - + = ® Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 4 ) ( - + = 8 × = = 4 x 16 lim 2 = - \ ®

.... x 1 lim = - + 4. .... x 1 lim = - + 3 - x 1 lim - + ´ = 2 - 1 - ) = - + ® 4. .... x 1 lim = - + ® Kalikan akar sekawan 3 - x 1 lim - + ´ = ® 2 - 1 - ) x 1 ( lim - + = ® ) x 1 ( 2 lim - + = ® 1 x 1 2 lim - + = ® Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 1 2 = - + 1 x lim = - + \ ®

.... h x lim = - + 5. .... h x lim = - + x h lim + ´ - = x x ) x h ( = - + ® 5. .... h x lim = - + ® Kalikan akar sekawan x 2 1 x h lim + ´ - = ® x 3 1 x 3 2 ) x h ( lim + - = ® x 2 ) x h ( lim + = ® x 2 x h 1 lim + = ® Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban x 2 1 = + x 2 1 h lim = - + \ ®

.... x 2 cos sin lim = - 6. x sin cos lim 2 - = ) x sin )(cos (cos cos 4 = - p ® 6. x sin cos lim 2 4 - = p ® 3 2 1 ) x sin )(cos (cos cos lim 4 - + = p ® 2 1 3 2 1 x sin cos 1 lim 4 + = p ® 2 4 sin cos 1 p + = 3 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 2 1 + = 2 1 = 2 1 x cos sin lim 4 = - \ p ®

.... x 3 sin 5 tan lim = 7. ÷ ø ö ç è æ × = 3 5 x sin tan lim 5 - 3 - = ® 7. ÷ ø ö ç è æ × = ® 3 5 x sin tan lim 5 - 3 - ÷ ø ö ç è æ × = ® x 3 sin 5 tan lim 3 5 - 1 3 5 × = 3 5 5 3 5 = Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 3 5 x sin tan lim = \ ®

.... x tan 2 sin lim = 8. tan sin lim ÷ ø ö ç è æ = 10 12 4 tan sin 3 = ® 8. 3 2 1 x tan sin lim ÷ ø ö ç è æ = ® 10 12 3 2 1 x 4 tan sin lim ÷ ø ö ç è æ × = ® 32 3 2 1 x tan sin lim 4 ÷ ø ö ç è æ × = ® 37 64 3 ) 1 ( 64 × = Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 64 = 64 x tan 2 sin lim 1 3 = \ ®

.... x sin cos 1 lim = - 9. ÷ ø ö ç è æ + ´ - = x cos 1 sin lim ÷ ø ö = - ® 9. ÷ ø ö ç è æ + ´ - = ® x cos 1 sin lim ÷ ø ö ç è æ + - = ® ) x cos 1 ( sin lim 2 4 1 2 1 ÷ ø ö ç è æ + = ® ) x cos 1 ( sin lim 2 1 2 ÷ ø ö ç è æ + × = ® x cos 1 sin lim 2 Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban x cos 1 sin lim 2 + × ÷ ø ö ç è æ = ® 2 1 = + × 2 1 x sin cos lim = - \ ®

.... x 2 3 6 sin ) 1 ( lim = + - 10. ) x 2 )( 1 ( 6 sin lim 3 + - = 8 = + - ® 10. ) x 2 )( 1 ( 6 sin lim 3 + - = ® 8 - x 2 6 sin ) 1 ( lim + - = ® 6 - 5 - x 6 sin 2 ) 1 ( lim × + - = ® 3 - 1 2 ) ( 6 × + - = 1 - 1 2 6 × - = Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 3 - = 3 x 2 6 sin ) 1 ( lim - = + \ ®

Bagi pangkat tertinggi .... ) x 3 ( lim 2 = - + ¥ ® 1. Kalikan akar sekawan .... ) x 3 ( lim 2 = - + ¥ ® x 3 ) ( lim 2 + ´ - = ¥ ® 3 2 2 3 x 3 lim 2 + - = ¥ ® 3 4 x 3 lim 2 + = ¥ ® 3 7 4 7 x 3 2 lim + = ¥ ® Bagi pangkat tertinggi Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 1 3 lim x + = ¥ ® 2 3 1 = + 2 3 ) x ( lim = - + \ ¥ ®

Bagi pangkat tertinggi .... ) x 2 4 ( lim = + - ¥ ® 2. .... ) x 2 4 ( lim = + - ¥ ® x 2 4 ) ( lim + - ´ = ¥ ® Kalikan akar sekawan 6 - 4 - x 2 4 ) ( lim + - = ¥ ® 3 - 2 - x 2 4 6 lim + - = ¥ ® 1 - 2 x 4 6 lim + - = ¥ ® Bagi pangkat tertinggi Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban x 2 4 1 6 lim + - = ¥ ® 3 2 6 1 - = + 3 ) x 2 4 ( lim - = + \ ¥ ®

Bagi pangkat tertinggi .... ) x 1 ( lim 2 = - + ¥ ® 3. .... ) x 1 ( lim 2 = - + ¥ ® Kalikan akar sekawan x 1 ) ( lim 2 + ´ - = ¥ ® 4 1 x 1 ) ( lim 2 + - = ¥ ® 3 1 x 1 lim 2 + = ¥ ® 2 1 2 x 1 2 lim + = ¥ ® Bagi pangkat tertinggi Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 1 lim 2 x + = ¥ ® 2 1 = + 2 1 ) x ( lim = - + \ ¥ ®

Bagi pangkat tertinggi .... 1 x 2 3 lim = ÷ ø ö ç è æ + - ¥ ® 4. .... 1 x 2 3 lim = ÷ ø ö ç è æ + - ¥ ® 1 ) 1 x )( ( 2 3 lim + - = ¥ ® 2 1 x 2 3 lim - + = ¥ ® 3 9 1 x 5 lim 2 - + = ¥ ® ¥ 2 x 1 5 lim - + = ¥ ® Bagi pangkat tertinggi Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban 1 lim 2 x 5 = - + ¥ ® 1 x 2 3 lim = ÷ ø ö ç è æ + - \ ¥ ®

Bagi pangkat tertinggi .... 2 x 6 3 lim 4 = + - ¥ ® 5. .... 2 x 6 3 lim 4 = + - ¥ ® 3 - 4 2 3 x 6 lim + - = ¥ ® Bagi pangkat tertinggi 2 - 1 - 4 3 2 x 1 6 lim + - = ¥ ® ¥ 3 + - = Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban ¥ = 3 ada) (tidak 2 x 6 3 lim 4 + - \ ¥ ®

buktikan bahwa nilai dari x 1 lim y 2 - + = ® 1. Jika x 1 lim y 2 - + = ® buktikan bahwa nilai dari 1 x lim 2 + ´ - = ® 1 x tan 2 sin cos lim 3 ) y ( = + - ® ) 1 x ( lim 2 + - = ® ) 1 x ( lim 2 + = ® 1 x lim 2 + = ® 2 1 = + 2 1 y = \

buktikan bahwa nilai dari x 1 lim y 2 - + = ® 1. Jika x cos sin 3 ) y ( 2 1 tan lim + - ® buktikan bahwa nilai dari 1 x tan 2 sin cos lim 3 ) y ( = + - ® x cos sin 3 2 tan lim + = ® ) 1 ( x tan cos 2 sin lim 3 + = ® x cos 3 1 lim tan 2 sin + × = ® 1 4 2 cos 3 = × +

[ ] [ ] 1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: .... x 3 2 1 lim = ÷ ø ö ç è æ + - ® ÷ ø ö ç è æ + - ® x 3 2 1 lim 1a. a. ÷ ø ö ç è æ + - = ® x 3 2 lim 1 b. ) 5 x 2 )( 4 ( lim - + ® x lim 3 2 1 ® + - = 2. Jika dan buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c - = ® 3 f 2 3 ) ( 1 + - = 10 ) x ( g f lim 2 c = + ® a. [ ] 3 ) x ( g c f lim = - + ® b. 14 45 2 7 - = c. [ ] 6 3 ) x ( f g lim c - = + ® 14 45 x 3 2 1 lim - = ÷ ø ö ç è æ + \ ®

[ ] [ ] 1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: ÷ ø ö ç è æ + - ® x 3 2 1 lim 1b. .... ) 5 x 2 )( 4 ( lim = - + ® a. ) 5 x 2 ( lim 4 - × + = ® b. ) 5 x 2 )( 4 ( lim - + ® ) 5 lim x 2 ( 4 ® - × + = 2. Jika dan buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c - = ® 3 f ) 5 2 ( 4 - × + = 5 9 × = 10 ) x ( g f lim 2 c = + ® a. 45 = [ ] 3 ) x ( g c f lim = - + ® b. 45 ) 5 x 2 )( 4 ( lim = - + \ ® c. [ ] 6 3 ) x ( f g lim c - = + ®

[ ] [ ] 1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: Bukti: ÷ ø ö ç è æ + - ® x 3 2 1 lim a. .... ) x ( g f lim 2 c = + ® 2a. b. ) 5 x 2 )( 4 ( lim - + ® ) x ( g lim f 2 c ® + = 2. Jika dan buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c - = ® 3 f 2 c x )] ( g lim [ f ® + = 2 ] 1 [ 3 - + = 10 ) x ( g f lim 2 c = + ® a. 1 9 + = [ ] 3 ) x ( g c f lim = - + ® b. 10 = (terbukti) c. [ ] 6 3 ) x ( f g lim c - = + ® 10 ) x ( g f lim 2 c = + \ ®

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: Bukti: ÷ ø ö ç è æ + - ® x 3 2 1 lim a. [ ] .... ) x ( g c f lim = - + ® 2b. b. ) 5 x 2 )( 4 ( lim - + ® ) x ( g lim c f ® × - + = ) 1 ( c 3 - × + = 2. Jika dan buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c - = ® 3 f ) 1 ( 3 - × + = 10 ) x ( g f lim 2 c = + ® a. 3 = (terbukti) [ ] 3 ) x ( g c f lim = - + ® b. [ ] 3 ) x ( g c f lim = - + \ ® c. [ ] 6 3 ) x ( f g lim c - = + ®

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: Bukti: ÷ ø ö ç è æ + - ® x 3 2 1 lim a. [ ] .... 3 ) x ( f g lim c = + ® 2c. b. ) 5 x 2 )( 4 ( lim - + ® [ ] 3 ) x ( f lim g c + × = ® ú û ù ê ë é + × = ® 3 lim ) x ( f g c 2. Jika dan buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c - = ® 3 f [ ] 3 1 + × - = 10 ) x ( g f lim 2 c = + ® a. [ ] 6 1 × - = [ ] 3 ) x ( g c f lim = - + ® b. 6 - = (terbukti) c. [ ] 6 3 ) x ( f g lim c - = + ® [ ] 6 3 ) x ( f g lim c - = + \ ®

untuk menyelesaikan permasalahan berikut. h ) t ( f lim - + Gunakan rumus: untuk menyelesaikan permasalahan berikut. h ) t ( f lim - + ® 1. Jarak: s(t)= t2+2. Maka kecepatan sesaat pada t = 4 adalah: 1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2. Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4. h ] 2 4 [ ) [( lim + - = ® h ] 2 16 [ 8 lim + - = ® 2. Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5? h 18 8 lim 2 - + = ® h ) 8 ( lim 2 + = ® 3. Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0,1t2—0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu? 8 ) h ( lim = + ® Jadi, kecepatan sesaat benda adalah: 8 m/detik

untuk menyelesaikan permasalahan berikut. h ) t ( f lim - + Gunakan rumus: untuk menyelesaikan permasalahan berikut. h ) t ( f lim - + ® 2. Total untung: L(t)=1500t2. Maka keuntungan marjinal untuk t = 5 adalah: 1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2. Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4. h ] ) 5 ( 1500 [ lim 2 - + = ® h )] 25 ( 1500 [ 10 lim 2 - + = ® 2. Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5? h ] 37500 [ 1500 15000 lim 2 - + = ® h 15000 1500 lim 2 + = ® 3. Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0,1t2—0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu? h ) 15000 1500 ( lim + = ® 15000 ) h 1500 ( lim = + ® Jadi, keuntungan marjinal perusahaan: 15000 dollar/tahun.

untuk menyelesaikan permasalahan berikut. h ) t ( f lim - + Gunakan rumus: untuk menyelesaikan permasalahan berikut. h ) t ( f lim - + ® 3. Berat tumor: w(t)=0,1t2—0,05t. Maka laju pertumbuhan tumor untuk t = 10 adalah: 1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2. Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4. h )] 10 ( 05 , ) 1 [ lim 2 - + = ® h ] 5 , ) 100 ( 1 [ 05 20 lim 2 - + = ® 2. Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5? h 5 , 10 05 1 2 lim + - = ® h ) 95 , 1 ( lim 2 + = ® 3. Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0,1t2—0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu? 95 , 1 ) ( h lim = + ® Jadi, laju pertumbuhan tumor adalah: 1,95 gram/minggu.

Andi Hakim Nasution dkk, Matematika 2, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Jakarta, 1994. Bernard V. Zandy dan Jonathan J. White, CliffsQuickReviewTM Calculus, Pakar Raya, Bandung, 2004. B.K. Noormandiri, Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 2A, Erlangga, Jakarta, 2004. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1, Erlangga, Jakarta, 1990. http://www.answer.com/topik/limit-of-a-function. http://www.garizhdizain.com.

terima kasih, kami sampaikan kepada mereka yang telah berkontribusi dalam pembuatan multimedia pembelajaran ini